Prinston�, 1950 |
|
-------------------------------------------------Noregul� savas p�rl�kprogrammas loga platumu!-------------------------------------- |
Kurta G�dela galvenais un slaven�kais rezult�ts: nepiln�bas teor�ma (1931) (incompleteness theorem, teorema o nepolnote). Domas par �� rezult�ta noz�m�bu dal�s: 1. G�dela nepiln�bas teor�ma noz�m� revol�ciju m�su priek�statos par matem�tikas b�t�bu, kas ir sal�dzin�ma ar Ein�teina relativit�tes teorijas izrais�to apv�rsumu m�su priek�statos par laiku un telpu. 2. G�dela nepiln�bas teor�ma ir t�ri tehnisks rezult�ts, kas par�da to, kas jau sen t�pat bija skaidrs - ka "�sto, dz�vo" matem�tiku nav iesp�jams l�dz galam aksiomatiz�t. Beig�s m�s pie �iem v�rt�jumiem v�l atgriez�simies. Ar� G�dela visai interesanto biogr�fiju apl�kosim v�l�k - kad b�sim p�rliecin�ju�ies (ja b�sim...), ka to ir v�rts dar�t. |
G�dela nepiln�bas teor�ma Vispirms m��in�sim saprast G�dela teor�mu k� t�ri matem�tisku rezult�tu, nem��inot to "ties�t" no sav�m "filosofiskaj�m poz�cij�m": G�dela nepiln�bas teor�ma (sal�dzinot ar 1931.gadu, moderniz�ts formul�jums). Ja T ir form�la teorija, kur� var pier�d�t vienk�r��k�s veselo skait�u �pa��bas, tad ��s teorijas valod� var uzrakst�t t�du apgalvojumu GT, ka: a) Ja teorij� T apgalvojumu GT var pier�d�t, tad teorij� T var izvest pretrunu. b) Ja teorij� T apgalvojumu GT var apg�zt, tad teorij� T var izvest pretrunu. �� teor�ma ir absol�ti konstrukt�va: visiem tr�s "var" atbilst algoritmi. |
Paredzamie jaut�jumi 1. Ko noz�m� "form�la teorija"? 2. Ko noz�m� "var pier�d�t vienk�r��k�s veselo skait�u �pa��bas"? 3. Ko noz�m� "var izvest pretrunu"? 4. Par ko "run�" apgalvojums GT? Apgalvojums GT "run�" par veselo skait�u �pa��b�m, t� pamat� ir polinoms ar veseliem koeficientiem PT(x1, ..., xn), un GT apgalvo, ka Ax1...Axn PT(x1, ..., xn)<>0, t.i. ka Diofanta vien�dojumam PT(x1, ..., xn)=0 nav atrisin�jumu (veselos skait�os). G�dela teor�mas sasaiste ar Diofanta vien�dojumiem, protams, k�uva iesp�jama tikai 1970.gad�, kad J.Matijasevi�s pabeidza Hilberta 10.probl�mas risin��anu. |
Form�l�s teorijas I Matem�tikas (arvien dzi��kas) aksiomatiz�cijas process: Eikl�da �eometrijas aksiomas, komplekso skait�u �eometrisk� interpret�cija, bezgal�gu rindu konver�ences prec�za defin�cija, funkcijas un nep�rtraukt�bas j�dzienu prec�zas defin�cijas, "bezgal�gi mazo" lielumu aizst��ana ar funkciju robe��m, re�lo skait�u defin�cija, balstoties uz racion�liem skait�iem, visu matem�tikas j�dzienu reduc��ana uz kopu teorijas j�dzieniem. Cik t�lu �is process var aiziet? K�ds b�tu t� "galapunkts" (ja t�ds ir iesp�jams)? Teorijas, kur absol�ti viss ir aksiomatiz�ts? Pirmo "absol�ti aksiom�tisko" matem�tisko teoriju Concept Script 1879.gad� public�ja Gotlobs Fr�ge, p�c tam 1910.-1913.gados savu Principia Mathematica public�ja Bertrans Rasels, 1908.gad� Ernsts Cermelo public�ja pirmo kopu teorijas aksiomu sist�mu, bet 1928.gad� tagad pie�emto lo�ikas aksiomatiz�ciju public�ja D�vids Hilberts un Vilhelms Akermans. |
Form�l�s teorijas II Bet visp�r�gs j�dziens par "absol�ti aksiom�tisku" matem�tisku teoriju k�uva iesp�jams tikai 1936.gad�, kad rad�s matem�tiski prec�zs j�dziens par algoritmu (T�ringa ma��nas, ��r�a t�ze). Teorijas sast�vda�as: valoda, apgalvojumi (�pa�i teksti valod�), pier�d�jumi (�pa�i teksti valod�, korekti un nekorekti pier�d�jumi), teor�mas (apgalvojumi, kam eksist� korekti pier�d�jumi). Savu teoriju m�s dr�kstam saukt par form�lu (jeb "absol�ti aksiom�tisku") teoriju, ja m�s sp�jam uzdot algoritmu, kas (bez cilv�ka iejauk�an�s) at��ir korektus pier�d�jumus no nekorektiem. �aj� defin�cij� aksiomas nemaz nav piemin�tas. K�p�c? T�p�c, ka formaliz�cijas b�tisk� paz�me ir visp�r�g�ka: vai pier�d�jumu korekt�bas p�rbaudi m�s protam 100% nodot datorprogrammai? Ja nesp�jam, tad formaliz�cija v�l nav pabeigta. Aksiomatiz�cija ir tikai viens no veidiem, kas �auj ieg�t algoritmiski p�rbaud�mu pier�d�juma j�dzienu. |
Form�l�s teorijas III �aha sp�le k� form�las teorijas piem�rs: apgalvojumi (poz�cijas), aksioma (s�kuma poz�cija), izveduma likumi (sp�les noteikumi nosaka, k�das jaunas poz�cijas dr�kst "izvest" no dot�s), pier�d�jums (�aha partijas pieraksts), teor�mas (poz�cijas, ko var ieg�t, ja fig�ras p�rvieto, iev�rojot noteikumus). �ahs ir form�la teorija, jo taj� ar pier�d�jumu (t.i. partiju pierakstu) korekt�bas p�rbaudi (bez cilv�ka iejauk�an�s) tiek gal� datorprogramma. �eit nevajadz�tu sajaukt (gatavu) pier�d�jumu korekt�bas p�rbaudi un apgalvojumu pier�d�m�bas noskaidro�anu. Vai dotais apgalvojums dotaj� teorij� ir pier�d�ms? Tas ir daudzk�rt sare���t�ks uzdevums nek� (gatavu) pier�d�jumu korekt�bas p�rbaude. �aha sp�les gad�jum� tam atbilst uzdevums: vai doto poz�ciju ir iesp�jams ieg�t, ja fig�ras p�rvieto, iev�rojot noteikumus? V�l�k redz�sim, ka nopietn�m matem�tisk�m teorij�m �is uzdevums nemaz nav algoritmiski atrisin�ms. |
... var pier�d�t vienk�r��k�s veselo skait�u �pa��bas... G�dela nepiln�bas teor�mas formul�jum� �� piebilde ir b�tiska. Jo pavisam vienk�r�as teorijas var b�t piln�gas - da�k�rt t�s tie��m sp�j pier�d�t vai apg�zt jebkuru apgalvojumu, ko var noformul�t to valod�s. Bet G�dela nepiln�bas teor�ma attiecas tikai uz t�m teorij�m, kuru iesp�jas ir pietiekami lielas - t�m, kur�s var pier�d�t vienk�r��k�s veselo skait�u �pa��bas. Sp�ja pier�d�t vienk�r��k�s veselo skait�u �pa��bas, izr�d�s, ir ekvivalenta sp�jai aprakst�t jebkuras T�ringa ma��nas darb�bu. T�da vai cit�da ��s sp�jas "apsp�l��ana" ir G�dela teor�mas visu pier�d�jumu pamat� (sk. t�l�k Lemmu 3). |
Pretrunas un bezpretrun�ba Pretruna ir situ�cija, kad k�d� teorij� k�du apgalvojumu izdodas vienlaic�gi gan pier�d�t, gan apg�zt. Protams, ��da situ�cija ilg�ku laiku nav pacie�ama. Ja teorij� konstat�tas pretrunas, tad t�s pamati ir j�pilnveido, pretrunas nov�r�ot. Vai p�c teorijas pilnveido�anas pretrunas taj� vairs nevar�s rasties? K� par to p�rliecin�ties? Vai matem�tik� re�las pretrunas ir nov�rotas? J�, un slaven�kie gad�jumi ir ��di: iracion�lo skait�u atkl��ana (VI gs.p.m.�.), nej�dz�gi spriedumi par kompleksiem skait�iem un diver�ent�m rind�m (XVIII gs.), p�rliec�ba, ka jebkura nep�rtraukta funkcija ir diferenc�jama visur, iz�emot atsevi��us "l�zuma" punktus (XIX gs.), Rasela paradokss kopu teorij� (XX gs. s�kum�). Vai, "p�c t� visa", m�s varam b�t p�rliecin�ti, ka m�su tagad�jie priek�stati par bezgal�g�m kop�m, par re�lo skait�u taisni, vai pat par veseliem skait�iem - "beidzot" ir 100% bezpretrun�gi? (T�da vai cit�da atbilde uz �o jaut�jumu var stipri ietekm�t G�dela teor�mas v�rt�jumus.) |
G�dela nepiln�bas teor�ma (v�lreiz) V�lreiz m��in�sim saprast G�dela teor�mu k� t�ri matem�tisku rezult�tu, nem��inot to "ties�t" no sav�m "filosofiskaj�m poz�cij�m": G�dela nepiln�bas teor�ma (sal�dzinot ar 1931.gadu, moderniz�ts formul�jums). Ja T ir form�la teorija, kur� var pier�d�t vienk�r��k�s veselo skait�u �pa��bas, tad ��s teorijas valod� var uzrakst�t t�du apgalvojumu GT, ka: a) Ja teorij� T apgalvojumu GT var pier�d�t, tad teorij� T var izvest pretrunu. b) Ja teorij� T apgalvojumu GT var apg�zt, tad teorij� T var izvest pretrunu. �� teor�ma ir absol�ti konstrukt�va: visiem tr�s "var" atbilst algoritmi (paskaidrot s�k�k). |
Secin�jumi (pagaid�m - bez filosofijas!) Str�d�jot ar jebkuru form�lu teoriju T, m�s neizb�gami nok��sim nepatik�an�s vien� no 3 virzieniem: a) Ar T pal�dz�bu m�s nesp�sim pier�d�t vienk�r��k�s veselo skait�u �pa��bas. b) Izmantojot T l�dzek�us, m�s k�dreiz izved�sim pretrunu, t.i. teorijas T pamatus mums n�ksies pilnveidot. Bet tad t� b�s jau cita teorija... c) Izmantojot T l�dzek�us, apgalvojumu GT (par k�da Diofanta vien�dojuma �pa��b�m) m�s nekad nesp�sim ne pier�d�t, ne apg�zt, t.i. teorij� T var noformul�t probl�mu, ko t� nesp�j atrisin�t. Neviens no G�dela teor�mas pier�d�jumiem nedod nek�dus matem�tiskus l�dzek�us, kas �autu noskaidrot, kas tie�i m�s sagaida n�kotn� - pretrunas vai neatrisin�mas probl�mas. |
Secin�jumi (filosofijas pirmais ekstr�mais variants) a) Dz�vaj� matem�tik� m�s, protams, varam pier�d�t vienk�r��k�s veselo skait�u �pa��bas. b) Dz�v� matem�tika ir bezpretrun�ga, jo ikviens noteikts apgalvojums par matem�tiskiem objektiem, ir vai nu patiess, vai aplams. c) Dz�vaj� matem�tika nav neatrisin�mu probl�mu, jo ikviens noteikts apgalvojums par matem�tiskiem objektiem, ir vai nu patiess, vai aplams. T�tad no G�dela nepiln�bas teor�mas seko, ka dz�v� matem�tika nav l�dz galam formaliz�jama. Neviena fiks�ta form�la teorija to nevar aizst�t visu dz�vo matem�tiku. Form�las teorijas var dz�vo matem�tiku tikai vair�k vai maz�k labi aproksim�t. (Ko dz�vaj� matem�tik� noz�m� patiesums, ja to nevar nodefin�t ar aksiom�m? �is jaut�jums b�tu s�kums lielai diskusijai par t.s. matem�tisko platonismu.) |
Secin�jumi (filosofijas otrais ekstr�mais variants) I Dz�vaj� matem�tik� m�s izmantojam ne l�dz galam noteiktu un neprec�zu intu�ciju. �o nenoteikt�bu un neprecizit�ti m�s labojam ar aksiomatiz�cijas un formaliz�cijas pal�dz�bu. Nav j�gas run�t par matem�tisko apgalvojumu "objekt�vo" patiesumu, ir j�ga run�t tikai par to, ko var vai nevar izvest no t�d�m vai cit�d�m aksiom�m. Matem�tiska teorija ir matem�tiska tikai par tik, par cik t� ir formaliz�jama. G�dela nepiln�bas teor�ma liecina, ka neviena matem�tiska teorija nevar b�t l�dz galam perfekta - str�d�jot ar vienu fiks�tu teoriju, m�s neizb�gami nok��sim nepatik�an�s vien� no 3 virzieniem - (a), (b) vai (c). Non�kot jebkur� no ��m situ�cij�m, m�s varam m��in�t teorijas pamatus pilnveidot (nov�r�ot pretrunas, papildinot aksiomas t�, lai neatrisin�m�s probl�mas k��tu atrisin�mas). Rezult�t� m�s ieg�sim citu - modific�tu teoriju, kura, saska�� ar G�dela teor�mu, protams, atkal neb�s l�dz galam perfekta... Jaut�jums: vai mums ir vajadz�gs v�l kaut kas vair�k par �o aizraujo�o procesu? |
Secin�jumi (filosofijas otrais ekstr�mais variants) II G�dela nepiln�bas teor�mu var uzskat�t ar� par liec�bu par labu ��dai �oti visp�r�gai (un �oti dialektiskai - k� teiktu agr�k) visp�r-filosofiskai t�zei: Fiks�ta (nemain�ga, sastingusi) uzskatu (principu) sist�ma nevar b�t perfekta. T� vai nu a) ir �oti �auri specializ�ta, vai ar� b) ir pietiekami univers�la, bet tad, to neierobe�oti att�stot, m�s non�ksim vai nu pretrun�s, vai probl�m�s, ko (paliekot sist�mas robe��s) nesp�sim atrisin�t. Izeja no ��s situ�cijas - sist�mu pilnveidot (main�t). Pretrunu gad�jum� izmai�as var b�t nopietnas (no k�da principa b�tu j�atsak�s, vai vismaz - j�samazina t� visp�r�gums, t� rad�s ZFC aksiomas). Neatrisin�mu probl�mu gad�jum� var pal�dz�t jaunu principu (hipot��u) pievieno�ana sist�mai. |
Cik nopietnas ir pretrunu briesmas m�sdienu matem�tik�? "Iek��j� balss" nevar b�t pietiekami dro�s pamats p�rliec�bai, ka pretrunas nav iesp�jamas t�p�c, ka "ikviens noteikts apgalvojums par matem�tiskiem objektiem, ir vai nu patiess, vai aplams". Piem�rs - Rasela paradokss kopu teorij�. Aptver�anas aksiomu sh�ma (comprehension, svyortivanie, F(x) ir jebkura formula kopu teorijas valod�, kas nesatur y, "x in y" noz�m� "x ir y elements"): EyAx (x in y <-> F(x)). �� aksiomu sh�ma ir "ac�m redzami patiesa" jebkuram cilv�kam, kur� v�l nezina, kas notiks t�l�k. Bertrans Rasels 1902.gad� ieteica pam��in�t F(x) viet� formulu ~(x in x) (~ ir neg�cijas simbols): EyAx (x in y <-> ~(x in x)), t�tad: Ey(y in y <-> ~(y in y)). Pretruna. T�tad aptver�anas aksiomu sh�ma t�s visp�r�gaj� veid� neder par kopu teorijas pamatu (kaut ar� "iek��j� balss" saka, ka t� ir "ac�m redzami patiesa"). �is defekts kopu teorijas pamatos tika izlabots jau 1908.gad�, kad Ernsts Cermelo public�ja daudz sare�g�t�ku kopu teorijas aksiomu sist�mu, kur� Rasela paradokss vairs nav atk�rtojams. ��s sist�mas moderniz�to variantu (t.s. Cermelo-Frenke�a aksiomas, Zermelo-Fraenkel, ZFC) �odien uzskata par ofici�lo matem�tisko kopu teoriju. (ZFC=ZF+AC, kur AC noz�m� axiom of choice, izv�les aksiomu). Vai, str�d�jot ar ZFC, pretrunas vair�k nerad�sies? To cilv�ku "iek��j� balss", kuri intens�vi str�d� m�sdienu kopu teorij� (t.i. ZFC), uzskata, ka nerad�sies. Vai vi�iem var tic�t? Un k�p�c m�s nevar�tu dz�vot un str�d�t bez ��s tic�bas? |
Cik nopietnas ir neatrisin�mu probl�mu briesmas m�sdienu matem�tik�? T� k� uz Cermelo-Frenke�a kopu teoriju ZFC, G�dela teor�ma secin�jumi, protams, attiecas, tad �aj� teorij� ir j�b�t vai nu pretrun�m, vai neatrisin�m�m probl�m�m. G�dela teor�ma to tikai prognoz�, jo, t�s pied�v�tais neatrisin�mais apgalvojums GZFC, protams, nevienam neliekas interesants. Ta�u �� prognoze 30 gadu laik� (p�c 1931.gada) piepild�j�s. Vispirms, 1938.gad� pats G�dels pier�d�ja, ka ZFC nav pretrunu -> ZFC+CH ar� nav pretrunu, kur CH ir Georga Kantora kontinuum-hipot�ze (formul�ta 1878.gad�). Un beidzot, 1963.gad� Paul Cohen pier�d�ja, ka ZFC nav pretrunu -> ZFC+~CH ar� nav pretrunu. T�tad ofici�l�s kopu teorijas aksiomas nesp�j kontinuum-hipot�zi ne pier�d�t, ne apg�zt. Un tas vairs nav apgalvojums, kas nevienu neinteres�! P�c 1963.gada ir pier�d�ta gandr�z visu l�dz tam neatrisin�to kopu teorijas probl�mu neatrisin�m�ba. |
K� kopu teorijas speci�listi cen�as p�rvar�t G�dela teor�mas uzliktos ierobe�ojumus? Ko dar�t ��d� situ�cij�, kad nevienu no interesant�m kopu teorijas probl�m�m nevar atrisin�t, balstoties uz visp�ratz�taj�m ZFC aksiom�m? (Starp citu, visu p�r�jo "pier�d�to" matem�tiku no ��m aksiom�m tom�r izvest var.) Jau pirms 1963.gada bija zin�mas tik �oti t�lejo�as kopu teorijas hipot�zes (t.s. lielo kardin��u aksiomas), ka to bezpretrun�bu nevar izvest no ZFC bezpretrun�bas (t.i. var pier�d�t, ka ja ZFC var pier�d�t Con(ZFC)->Con(ZFC+H), tad ZFC ir pretrun�ga). Piem�rs (t.s. measurable cardinal axiom): eksist� nesanumur�jama kopa k, kuras vis�m apak�kop�m var nodefin�t k-adit�vu, netrivi�lu, 0-1-v�rt�gu m�ru. Tagad ir izgudrotas jau 17 t�das aksiomas - katra n�ko�� "t�lejo��ka" par iepriek��jo (sk. Oliver Deiser sast�d�to katalogu). M�rojamo kardin��u aksioma ir 6. no t�m. P�d�j� - 17.aksioma, kop� ar ZFC jau noved pie pretrun�m. Bet p�r�j�s 16 novest l�dz pretrun�m neizdodas. Speci�listi uzskata, ka tas noz�m�, ka "�sten�b�" t�du pretrunu nemaz nav. Vi�i pat ir izvirz�ju�i visp�r�gu principu: Ja "dabiska" hipot�ze nenoved pie "viegli" izvedam�m pretrun�m, tad t� ir bezpretrun�ga. Tiesa gan, neviena no 16 lielo kardin��u aksiom�m (ko tagad pie�emts saukt par "ZFC kanonisko papla�in�jumu"), nesp�j atrisin�t kontinuum-hipot�zi (�o faktu var pier�d�t). |
S�k�k par m�rojamo kardin��u aksiomu Aksiomas formul�jums. Eksist� nesanumur�jama kopa k, kuras vis�m apak�kop�m var nodefin�t k-adit�vu, netrivi�lu, 0-1-v�rt�gu m�ru. Tas noz�m�, ka eksist� m�rs, kas defin�ts vis�m k apak�kop�m (t.i. funkcija m: P(k) -> {0,1}, kur P(k) ir visu k apak�kopu kopa) t�ds ka: 1) Visiem k elementiem x, m({x})=0 (t.i. vismaz�ko kopu m�rs ir 0) 2) m(k) = 1 (t.i. pa�as kopas k m�rs ir 1) 3) Ja a, b ir k apak�kopas, a ir b apak�kopa, tad m(a)<=m(b) (m�rs ir monotons) 4) Ja card(s)<card(k), b={bi | i in s}, bi ir k apak�kopas, m(bi)=0, tad m(Ub)=0 (m�rs ir k-adit�vs). K�p�c nesanumur�jama kopa? T�p�c, ka sanumur�jamai kopai ��du m�ru var ievest �oti viegli: m(x)=0, ja x ir gal�ga kopa, m(x)=1, ja bezgal�ga. |
Vai lielo kardin��u aksiomas visp�r sp�j kaut ko atrisin�t? Vienubr�d, t�da cer�ba par�d�j�s - 1992.gad� R.Laver, izmantojot �oti sp�c�go I3 aksiomu (t� ir 13.viet� zin�maj� 16 lielo kardin��u sarakst�) pier�d�ja, ka br�v�m, kreisi-distribut�v�m algebr�m ar vienu �eneratoru v�rdu probl�ma ir algoritmiski atrisin�ma. T.i., izmantojot lielu kardin��u eksistenci, tikai pier�d�ta algoritma eksistence (faktiski jau, algoritms, dro�i vien, tika nodefin�ts bez kardin��iem, un tos ievajadz�j�s tikai algoritma konver�ences pier�d��anai). Bet jau 1994.gad� P.Dehornoy pier�d�ja �o teor�mu, vairs neizmantojot lielo kardin��u aksiomas. Tikai pier�d�jums nu bija par k�rtu sare���t�ks un ne tik skaists k� Lavera pier�d�jums... T�tad v�l joproj�m nav zin�mas noz�m�gas matem�tiskas probl�mas, kuru risin��ana b�tu iesp�jama tikai, izmantojot lielo kardin��u aksiomas. Nenoliedzama ir tikai �o aksiomu "uzvedino�� funkcija" ("revealer") - varb�t, da�us algebras vai topolo�ijas rezult�tus nemaz neizdotos ieg�t, ja pa�� s�kum� neb�tu m��in�ts izmantot lielo kardin��u aksiomas. Man tas atg�dina klasisk�s un konstrukt�v�s lo�ikas attiec�bas: klasiskie nekonstrukt�vie spriedumi it k� "r�da ce�u" v�l�kajiem konstrukt�vajiem pier�d�jumiem. |
Viens no G�dela teor�mas pier�d�jumiem I Lemma 1. Form�las teorijas visu teor�mu kopa ir efekt�vi (rekurs�vi) sanumur�jama, t.i. var uzrakst�t programmu, kas druk� visas ��s teorijas teor�mas un tikai t�s. Pier�d�jums. Tie��m, ja teorijai T ir zin�mas funkcijas GetFirstStringT(), GetNextStringT(), IsCorrectProofT(string), ExtractTheoremT(proof), tad ir viegli uzrakst�t programmu, kas druk� visas teor�mas un tikai t�s: s = GetFirstStringT(); |
 |
Viens no G�dela teor�mas pier�d�jumiem II Lemma 2. Ja efekt�vi sanumur�jamas kopas papildin�jums ar� efekt�vi sanumur�jams, tad �� kopa ir efekt�vi atrisin�ma (rekurs�va). Pier�d�jums. Tie��m, ja kopai K un t�s papildin�jumam K' ir zin�mas funkcijas GetFirstMemberK(), GetNextMemberK(), GetFirstMemberK'(), GetNextMemberK'(), tad ir viegli uzrakst�t funkciju IsMemberK(string): bool IsMemberK(string) { |
 |
Viens no G�dela teor�mas pier�d�jumiem III Lemma 1 �auj mums att�lot form�las teorijas T "funkcion��anu" t�, k� tas par�d�ts �aj� att�l�. Taisnst�ris att�lo visu iesp�jamo teorijas T apgalvojumu kopu. Kas notiks t�l�k? 1) Ja abas kopas kaut kad s�ks p�rkl�ties, tad teorij� T b�s atrasta pretruna. 2) Ja, str�d�jot l�dz bezgal�bai, abas kopas "beidzot sastapsies", tad teorija T ir piln�ga - katrs t�s apgalvojums ir vai nu pier�d�ms, vai apg��ams. 3) Ja, str�d�jot l�dz bezgal�bai, abu kopu starp� paliks t� ar� neaizpild�ta "teritorija", tad teorija T ir nepiln�ga - "neitr�l�s teritorijas" apgalvojumus t� nesp�j ne pier�d�t, ne apg�zt. T�tad, ja mums izdotos k�dai teorijai T pier�d�t, ka t�s teor�mu kopa nav efekt�vi atrisin�ma (t.i. nav rekurs�va), tad saska�� ar Lemmu 2, mums b�tu dar��ana ar situ�ciju (3), t.i. b�sim pier�d�ju�i, ka T valod� eksist� apgalvojumi, ko T nesp�j ne pier�d�t, ne apg�zt. |
Viens no G�dela teor�mas pier�d�jumiem IV Lemma 3 preciz� apgalvojumu, ka ja teorija sp�j pier�d�t vienk�r��k�s veselo skait�u �pa��bas, tad t� sp�j aprakst�t jebkuras T�ringa ma��nas darb�bu. Lemma 3. Ja T ir form�la teorija, kur� var pier�d�t vienk�r��k�s veselo skait�u �pa��bas, tad t�s valod� jebkurai T�ringa ma��nai M var uzrakst�t aritm�tikas formulu HM(x, y, z) t�du, ka visiem n: a) Ja ma��na M, sa�emot darba s�kum� skaitli n, p�c t so�iem apst�jas, izdodot rezult�tu k, tad T pier�da formulu HM(n, t, k) (n, t, k ir skait�u n, tpieraksts T valod�). a) Ja ma��na M, sa�emot darba s�kum� skaitli n, p�c t so�iem neapst�jas, izdodot rezult�tu k, tad T pier�da formulu ~HM(n, t, k). Pier�d�jums. Desmit un vair�k lappu�u jebkur� lo�ikas m�c�bu gr�mat�. (Iev�rojiet, ka ��s lemmas pier�d��anai nav vajadz�gs pie��mums, ka T ir bezpretrun�ga teorija.) ��da lemma, protams, nebija pieejama G�delam 1931.gad�. T� k�uva iesp�jama tikai 1936.gad�, kad izveidoj�s formaliz�tais algoritma j�dziens. G�dels, lai var�tu pier�d�t savu teor�mu, b�t�b� izgudroja primit�vi rekurs�v�s funkcijas j�dzienu... |
Viens no G�dela teor�mas pier�d�jumiem V Lai pier�d�jumu pabeigtu, �emsim divas rekurs�vi neatdal�mas natur�lu skait�u kopas K1 un K2, un T�ringa ma��nu M, kura r��ina ��du funkciju: f(x) = 1, ja x pieder K1, f(x) = 2, ja x pieder K2, cit�di - f(x) nav defin�ta. Un tad apl�kosim ��du formulu F(x) (ideja pieder B.Rosseram, 1936): Et(HM(x,t,1) & (Az<t)~HM(x,z,2)). F(x) apgalvo, ka M uz x apst�jas un izdod 1, bet l�dz tam - neapst�jas, izdodot 2. Viegli p�rliecin�ties, ka: 1) Ja skaitlis n pieder K1, tad T pier�da formulu F(n). 2) Ja skaitlis n pieder K2, tad T pier�da formulu ~F(n). Secin�jums. Ja teorija T ir bezpretrun�ga, tad t�s pier�d�mo formulu kopa ir rekurs�vi neatdal�ma no apg��amo formulu kopas (sk. iepr. bildi). T�tad T teor�mu kopa nav rekurs�va (nav iesp�jams algoritms, kas par katru apgalvojumu var pateikt, vai T var to pier�d�t, vai nevar). G�dela teor�ma pier�d�ta. |
G�dela teor�mas ori�in�lais pier�d�jums (nedaudz moderniz�ts) 1. Me�a paradokss: ar p apz�m�sim apgalvojumu "p ir aplams". ��du apgalvojumu nav iesp�jams uzskat�t ne par patiesu, ne par aplamu - abos gad�jumos rodas pretruna. 2. G�dela ideja - model�sim me�a paradoksu aritm�tik�, m��inot uzrakst�t aritm�tikas apgalvojumu GT, kas apgalvotu, ka "GT nevar pier�d�t teorij� T". Lai aritm�tikas apgalvojumi var�tu "run�t par sevi", tie ir j�nokod� ar natur�liem skait�iem (�eni�la G�dela ideja!) 3. G�dela numer�cija: katru teorijas T apgalvojumu un katru pier�d�jumu kod� ar natur�lu skaitli - G�dela numuru. 4. Nekust�g� punkta teor�ma (self-reference lemma). Ja T var pier�d�t vienk�r��k�s natur�lo skait�u �pa��bas, tad jebkurai aritm�tikas formulai F(x) ar vienu br�vu main�go x var uzrakst�t t�du aritm�tikas apgalvojumu G, ka T var pier�d�t ekvivalenci G<->F(G) (G ir G G�dela numurs). T.i G it k� apgalvo, ka tam piem�t �pa��ba F. |
G�dela teor�mas ori�in�lais pier�d�jums II 5. T� k� "#y ir apgalvojuma #x pier�d�jums teorij� T" ir rekurs�vs (izr��in�ms) predik�ts, tad saska�� ar Lemmu 3 varam uzrakst�t aritm�tikas formulu PRFT(x, y) t�du, ka: a) Ja #n ir apgalvojuma #m pier�d�jums teorij� T, tad T pier�da PRFT(m, n). b) Ja n�, tad T pier�da ~PRFT(m, n). 6. Tagad, izmantojot nekust�g� punkta teor�mu, model�sim me�a paradoksu. Formula ~EyPRFT(x, y) apgalvo, ka apgalvojums #x nav pier�d�ms teorij� T. Saska�� ar nekust�g� punkta teor�mu, var uzrakst�t t�du aritm�tikas apgalvojumu GT, ka T var pier�d�t ekvivalenci GT<->~EyPRFT(GT, y) (GT ir GT G�dela numurs). T�tad GT apgalvo, ka "GT nevar pier�d�t teorij� T". 7. Kas tagad notiks? |
G�dela teor�mas ori�in�lais pier�d�jums III 8. Ja GT var pier�d�t teorij� T, un n ir �� pier�d�juma numurs, tad T pier�da PRFT(GT, n), t.i. ar� EyPRFT(GT, y) un ar� ~GT. T�tad �ai gad�jum� T ir izvedama pretruna. 9. Pie�emsim tagad, ka teorij� T var pier�d�t ~GT, t.i. EyPRFT(GT, y). Tas ir apgalvojums, ka teorij� T eksist� GT pier�d�jums. T.i. no t� it k� b�tu j�seko, ka T ir pretrun�ga teorija. �sten�b� m�s te varam pier�d�t tikai, ka T �ai gad�jum� ir "omega-pretrun�ga" (�is j�dziens noved pie t.s. aritm�tikas nestandarta mode�iem, sk. t�l�k). 10. �os sare���jumus 1936.gad� izdev�s nov�rst B.Rosseram, defin�jot apgalvojumu GT mazliet sare���t�k: GT <-> Ay(PRFT(GT, y) -> Ez(z<y & PRFT(~GT, y))). �eit GT apgalvo, ka ja to var pier�d�t teorij� T, tad to v�l viegl�k ir apg�zt. �im apgalvojumam ir viegli ieg�t pretrunu gan tad, ja tas ir pier�dams teorij� T, gan tad, ja tas ir apg��ams. G�dela teor�ma pier�d�ta. |
Aritm�tikas nestandarta mode�i Apgalvojumam GT ir ��da �pa��ba: tas ir izskat� AyF(y), un ja T ir bezpretrun�ga teorija, tad: a) T pier�da F(0), F(1), F(2), utt. katram natur�lu skait�u apz�m�jumam (1+1+1 apz�m� 3, utt.), b) T nevar pier�d�t AyF(y). Tas noz�m�, ka teorija T+ = T + Ey~F(y) ir bezpretrun�ga. Ko m�s "redzam", str�d�jot �aj� teorij�? a) Visiem "standarta" natur�liem skait�iem n piem�t �pa��ba F (t.i. T+ pier�da F(n)). b) Eksist� "nestandarta" natur�li skait�i, kuriem �pa��ba F nepiem�t (t.i. T+ pier�da Ey~F(y)). Ja m�s apl�kojam teorijas T+ modeli, un defin�jam taj� standarta skait�us k� tos skait�us, kas interpret� apz�m�jumus 0, 1, 2, 3, utt. tad m�s redzam, ka: a) Katrs standarta skaitlis ir maz�ks par katru nestandarta skaitli. b) Nav visliel�k� standarta skait�a. c) Nav vismaz�k� nestandarta skait�a. d) Eksist� vismaz�kais nestandarta skaitlis, kuram nepiem�t �pa��ba F. Standarta skait�us nevar nodefin�t ar k�das formulas S(x) pal�dz�bu (ja var�tu, tad eksist�tu vismaz�kais nestandarta skaitlis...). Kas te interesants? Tas, ka aritm�tikas aksiomas neizsl�dz nestandarta mode�u iesp�jam�bu (ar� �ajos mode�os visas parast�s aritm�tikas aksiomas ir patiesas). |
Secin�jumi I: kas ir matem�tika? L�dz 1895.gadam priek�stati par to, kas ir matem�tika un k�dai tai j�b�t att�st�j�s vien� virzien�: matem�tikas j�dzieni tika p�rdefin�ti arvien prec�z�k un att�st�j�s jauni j�dzieni. �o procesu zin�m� m�r� pabeidza un vainagoja visu matem�tikas j�dzienu redukcija uz kopu teoriju. �ai br�d� uz jaut�jumu "kas ir matem�tika?" var�ja atbild�t - viss tas, ko var pier�d�t kopu teorij�. Bet 1895.gad� kopu teorij� tika atkl�ts pirmais paradokss (un 1902.gad� atkl�tais Rasela paradokss par�d�ja, ka probl�ma ir v�l dzi��ka). �� kr�ze piespieda v�l t�l�k preciz�t matem�tikas j�dzienu defin�cijas, non�kot b�t�b� jau pie form�l�m teorij�m, kur intu�cija (pamatj�dzienu defin��anai) vairs netiek izmantota. Pretrun�g�s G.Kantora kopu teorijas viet� 1908.gad� tika ievesta Cermelo-Frenke�a form�l� kopu teorija ZFC. �ai br�d� uz jaut�jumu "kas ir matem�tika?" var�ja atbild�t - viss tas, ko var pier�d�t ZFC. |
Secin�jumi II: kas ir matem�tika? Bet �ai pat br�d�, pateicoties absol�ti prec�z�m to defin�cij�m, visas matem�tisk�s teorijas pa�as k�uva par matem�tiskiem objektiem, ko var matem�tiski p�t�t. Jaut�jumi: vai teorija ZFC nesatur pretrunas? vai ZFC sp�j atrisin�t jebkuru probl�mu, ko var pierakst�t t�s valod�? �ie jaut�jumi tagad k�uva par prec�zi defin�t�m matem�tisk�m probl�m�m, kas b�t�b� ir ekvivalentas jaut�jumam: vai konkr�tas T�ringa ma��nas (kas model� ZFC) darba laik� par�d�sies t�das vai cit�das situ�cijas? Pirms 1931.gada cilv�ki var�ja dom�t, ka ��s divas konkr�t�s matem�tisk�s probl�mas izdosies atrisin�t - un atrisin�t pozit�vi. T.i. matem�tiski pier�d�t, ka no ZFC aksiom�m nevar rasties pretrunas, un ka ZFC princip� sp�j atrisin�t jebkuru probl�mu. (T.s. Hilberta programma.) Bet 1931.gad� G�dels public�ja savu nepiln�bas teor�mu, no kuras seko, ka ZFC ir vai nu pretrun�ga, vai ar� eksist� probl�mas, ko t� nesp�j atrisin�t. Un tas nav specifisks ZFC defekts - t�ds "defekts" neizb�gami piem�t jebkurai form�lai teorijai, kur� var pier�d�t vienk�r��k�s veselo skait�u �pa��bas. Ko lai tagad atbildam uz jaut�jumu "kas ir matem�tika?"? |
Secin�jumi III: kas ir matem�tika? Ir divas iesp�jas: 1) Turpin�t uzskat�t, ka matem�tika ir "viss tas, ko var pier�d�t ZFC". Un ka G�dela teor�mas konstat�tais "defekts" piem�t pa�ai matem�tikai. Ja ZFC aksiomas k�diem m�su m�r�iem ir nepietiekamas, tad dro�i papildin�sim t�s (piem�ram, ar lielo kardin��u aksiom�m). T� m�s varam "iebraukt" pretrun�s, jo nav iesp�jama univers�la metode, k� no t�m izvair�ties. Un tad vajadz�s k�pties atpaka� un izm��in�t citas aksiomas... Vai mums ir vajadz�gs kas vair�k par �o aizraujo�o procesu? 2) Atteikties no matem�tikas formaliz�cijas un aksiomatiz�cijas , uzskatot, ka tie�i t�s ir novedu�as pie G�dela teor�mas konstat�t�s "mazsp�jas". �st�, dz�v� matem�tika ir "daudz sp�j�g�ka" un t�p�c nav formaliz�jama (t.i. nav l�dz galam aksiomatiz�jama). Bet kas t�d� gad�jum� ir paties�bas krit�rijs dz�vaj� matem�tik�, ja izvedam�ba no aksiom�m ir nepietiekama, lai to nodefin�tu? Ar �o otro viedokli ir saist�ta t.s. platonisma probl�ma. |
Platonisma probl�ma Tests: vai J�su priek�stati par matem�tiku ir platonisms? B�v�jam dv��u pirmskait�u virkni: (3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31) (41, 43) (59, 61)... 1849.gad� tika pieteikta hipot�ze, ka �� virkne ir bezgal�ga. Bet �i hipot�ze l�dz pat �ai dienai v�l nav ne pier�d�ta, ne apg�zta. Vai J�s uzskat�t, ka ir tikai divas iesp�jas: a) Dv��u pirmskait�u virkne turpin�s bezgal�gi. b) Dv��u pirmskait�u virkne apraujas aiz p�d�j� dv��u p�ra. Vai nav ar� k�da tre�a iesp�ja? Ja J�s uzskat�t, ka ir tikai divas iesp�jas, tad J�su priek�stati par matem�tiku ir platonisms (t.i. J�s uzskat�t, ka matem�tikas objekti eksist� neatkar�gi gan no re�l�s pasaules, gan no aksiom�m, kas tos m��ina defin�t). Diskusija par �o jaut�jumu neskait�s pabeigta. Ir cilv�ki, kuri uzskata, ka XXI gadsimt� platonisms ir mu���ga filosofija. Bet ir ar� cilv�ki, kuri savu platonismu aizst�v, un br�vi public�jas zin�tniskos �urn�los. Sk. manu filosofiju par platonisma pozit�vo un negat�vo lomu matem�tik�. Tur ir ar� mana atbilde uz jaut�jumu: kas ir matem�tika? |
Kas no interesant� ir palicis neapl�kots? 1. G�dela t.s. otr� nepiln�bas teor�ma, kas apgalvo, ka neviena teorija nesp�j pier�d�t savu pa�as bezpretrun�bu. 2. No 1977. gada ir zin�ms t.s.natural independence phenomenon: teor�mas par natur�liem skait�iem, kuras nevar pier�d�t, izmantojot tikai aritm�tikas aksiomas, bet var pier�d�t kopu teorij� ZFC. Divi visslaven�kie gad�jumi - pastiprin�t� Ramseja teor�ma un Gudsteina teor�ma par d�vaino virkni. 3. 1986.gada Freilinga aksioma kopu teorij�. T� ir "ticama paties�ba" par re�lo skait�u taisni, kuru agr�k nebija paman�ju�i, un kas ekvivalenta ar ~CH (kontinuum-hipot�zes noliegumu). 4. K� tika pier�d�ta kontinuum-hipot�zes neatkar�ba no ZFC aksiom�m. G�dela konstrukt�v�s kopas. Koena forcing method. 5. Apgalvojumi, ka G�dela teor�ma pier�da cilv�ka sapr�ta p�r�kumu p�r datoriem. |
Kurts G�dels Biogr�fijas: http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Godel.html, http://en.wikipedia.org/wiki/Kurt_Goedel#Short_Biography Kurt G�del - Leben und Werk by Markus Krump�ck. 1931.gada raksts: Tulkojums ang�u valod�: "ON FORMALLY UNDECIDABLE PROPOSITIONS OF PRINCIPIA MATHEMATICA AND RELATED SYSTEMS" |
Ar vec�kiem un vec�ko br�li, ap 1910 |
Biogr�fija I Dzimis 1906.gada 28.apr�l�, tekstilfabrikas direktora �imen�, Brno pils�t� (tagad - �ehij�). Laim�ga b�rn�ba. 8 gadu vecum�, p�c slim�bas s�ka las�t medic�nas gr�matas... Skol� bija "vienpus�gs", vislabpr�t�k m�c�j�s matem�tiku un valodas. Lat��u valod� neesot ne reizi pie��vis gramatisku k��du. Att�ls no MacTutor History of Mathematics archive - Godel Portraits |
Biogr�fija II 17 gadu vecum�, 1923.gad� iest�j�s V�nes universit�t�, v�l neizl�mis, vai specializ�sies matem�tik�, vai teor�tiskaj� fizik� (k� vien�, t� otr� zin�tn� 20-tie gadi bija �oti romantisks laiks). Esot izl�mis par labu matem�tikai, pateicoties Filipa Furtvenglera lekcij�m, kur� bija piln�gi paraliz�ts, un las�ja lekcijas, s��ot rati�kr�sl�, asistentam rakstot uz t�feles. Studiju laik� apmekl�ja ar� Morica �lika vad�to filosofijas semin�ru, un pamaz�m vi�a intereses koncentr�j�s uz matem�tisko lo�iku. Studiju biedriem pamaz�m k�uvis skaidrs, ka G�dels ir �rk�rt�gi talant�gs, un vi�a pal�dz�ba bija �oti piepras�ta. Savu doktora disert�ciju "Ueber die Vollstaendigkeit des Logikkalkuels" G�dels izstr�d�ja Hansa H�na vad�b� un aizst�v�ja 1929.gad�. Taj� vi�� pier�d�ja teor�mu par predik�tu r��inu piln�bu, ko tagad sauc par G�dela piln�bas teor�mu (completeness theorem, teorema o polnote). Ar to G�dels atrisin�ja vienu no aktu�l�kaj�m t� br��a probl�m�m lo�ik�. 1929. gad� nomira G�dela t�vs, atst�jot lielu mantojumu. G�dela m�te nopirka lielu dz�vokli V�n�, kur dz�voja trijat� ar abiem d�liem, bie�i kop� apmekl�jot te�trus. |
Biogr�fija III 1930.gads - 24 gadi - zvaig��u stunda "Historians and Mathematicians agree, 1930 was G�del�s most profound year � if one was to include the latter part of 1929 as well... In the summer, G�del began work on trying to prove the relative consistency of analysis. G�del soon discovered that truth in number theory is undefinable � he later went on to prove a combinational form of the Incompleteness Theorem. In 1930, G�del traveled several days to attend the Second Conference on Epistemology of the Exact Sciences (September 5-7). Towards the end of the Conference on the last day, G�del spoke for the first time and, "criticized the formalist assumption that consistency of �transfinite� axioms assures the nonderivability of any consequence that is �contentually false.� He concluded, �For of no formal system can one affirm with certainty that all contentual considerations are representable in it.� And then v. Neumann interjected, �It is not a foregone conclusion whether all rules of inference that are intuitionistically permissible may be formally reproduced.�" It was after this statement, that G�del made the announcement of his incompleteness result, "Under the assumption of the consistency of classical mathematics, one can give examples of propositions�that are contentually true, but are unprovable in the formal system of classical mathematics." It was these events which preceded the formal 1931 publishing of G�del�s article Uber formal unentscheidbare S�tze der Principia Mathematica und verwandter Systeme." (A fragment from G�del, and his Incompleteness Theorem by Mark Wakim). |
Biogr�fija IV "...according to G�del's biographer John Dawson, Hilbert and G�del never discussed it, they never spoke to each other. The story is so dramatic that it resembles fiction. They were both at a meeting in K�nigsberg in September 1930. On September 7th G�del off-handedly announced his epic results during a round-table discussion. Only von Neumann immediately grasped their significance... The very next day, September 8th, Hilbert delivered his famous lecture on ``Logic and the understanding of nature.'' As is touchingly described by Hilbert's biographer Constance Reid, this was the grand finale of Hilbert's career and his last major public appearance. Hilbert's lecture ended with his famous words: ``Wir m�ssen wissen. Wir werden wissen.'' We must know! We shall know!" (from a G.J.Chaitin's lecture, Buenos Aires, 1998). 4 min�tes no sava refer�ta Hilberts "ierun�ja" viet�jai radiostacijai: David Hilbert's Radio Broadcast, K�nigsberg, 8 September 1930 (audio record published by James T.Smith, and translations in 7 languages published by Laurent Siebenmann). Paklaus�simies (�ai br�d� G�dela teor�ma jau ir pier�d�ta...). |
Konkurenti E.Posts Emil Leon Post "... in the 1920s ...proved results similar to those which G�del, Church and Turing discovered later, but he did not publish them. He reason he did not publish was because he felt that a 'complete analysis' was necessary to gain acceptance... In a postcard written to G�del in 1938, just after they had met for the first time, Post wrote: ... As for any claims I might make perhaps the best I can say is that I would have proved G�del's Theorem in 1921 - had I been G�del." (according to MacTutor History of Mathematics archive). E.Cermelo G�del met Zermelo in Bad Elster in 1931. "The trouble with Zermelo was that he felt he had already achieved G�del's most admired result himself. Scholz seemed to think that this was in fact the case, but he had not announced it and perhaps would never have done so. ... The peaceful meeting between Zermelo and G�del at Bad Elster was not the start of a scientific friendship between two logicians." (according to MacTutor History of Mathematics archive). |
Biogr�fija V P�c tam, 1930.gada 23.oktobr� G�dels prezent�ja savu rezult�tus V�nes Zin�t�u akad�mijas sekcijas s�d�. Tam sekoja maza publik�cija: "Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Anzeiger", 1930, N 76, pp.214-215 Savu v�sturisko rakstu K.Goedel. Ueber formal unentscheidbare Saetze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. "Monatshefte fuer Mathematik und Physik", 1931, Vol. 38, pp. 173-198 G�dels iesniedza �urn�lam 17.novembr� un tas n�ca klaj� 1931.gad� (sk. tulkojumu ang�u valod�). No 1933.gada G�dels str�d�ja k� priv�tdocents V�nes universit�t�. 1934.gad� Prinston� G�dels nolas�ja lekcijas par nepiln�bas teor�mu. P�c atgrie�an�s Eirop� (Par�z�) vi�am bija nervu sabrukums, vair�kus m�ne�us vi�� �rst�j�s no depresijas. 30-jos gados G�dels nodarboj�s ar izv�les aksiomas un kontinuum- hipot�zes bezpretrun�bas pier�d�jumu (public�ts 1938). |
Ar sievu Adeli k�zu dien�, 1938, rudens |
Biogr�fija VI Par politiku G�dels neinteres�j�s. Bet... Kad 1936.gad� M.�liku nogalin�ja nacistiski orient�ts students, G�delam bija otrs nervu sabrukums. 1938.gada mart� Hitlers anekt�ja Austriju. 1939.gad� G�delam atteica "p�rre�istr�t" vi�a privatdocenta amatu, esot biju�as aizdomas, ka vi�� ir ebrejs (t� nebija taisn�ba, kaut gan vi�am bija daudz draugu-ebreju). 1940.gad� G�delam izdev�s dab�t ASV v�zu, kop� ar sievu caur Krieviju un Jap�nu izce�oja, un no t� laika dz�voja tur. Att�ls no MacTutor History of Mathematics archive - Godel Portraits |
Biogr�fija VII Visu atliku�o dz�ves laiku G�dels sa��ma algu k� Prinston Institute of Advanced Studies darbinieks, 1953.gad� sasniedzot augst�ko statusu - kontraktu, kur� atkl�ti ierakst�ts, ka lekcijas las�t nav oblig�ti. 1948.gad� G�delam tika pie��irta ASV pilson�ba (intervijas laik� vi�� atz�m�ja, ka atradis ASV konstit�cij� pretrunu, ta�u tiesnesis atzina par lab�ku izlikties, ka to nedzird). Goedel' s 1942 summer vacations in Blue Hill, Maine: "...Throughout the summer Louise Frederick received agitated telephone calls from people of the town. Who was this scowling man with a thick German accent walking alone at night along the shore? Many thought G�del was a German spy, trying to signal ships and submarines in the bay..." (Peter Suber, "Kurt G�del in Blue Hill"). Prinston�, Ein�teins bija viens no tuv�kajiem G�dela draugiem. Vi�i viens otru augstu v�rt�ja un bie�i kop� pastaig�j�s. Par G�dela ieguld�jumu relativit�tes teorij� (public�ts 1949) sk. http://www.ettnet.se/~egils/essay/essay.html. P�c tam G�dels turpin�ja p�t�t kontinuum-probl�mu, bet neko b�tisku vairs nepublic�ja... |
|
Biogr�fija VIII "My brother had a very individual and fixed opinion about everything and could hardly be convinced otherwise. " (br��a R�dolfa liec�ba) P�c Ein�teina un von Neimana n�ves (1955 un 1957) G�dela fizisk� un gar�g� vesel�ba visu laiku pasliktin�j�s. Vi�� cent�s izol�ties, main�ja dz�vok�us, tur�ja logus atv�rtus, baid�damies no ind�giem tvaikiem... Ar� sievas vesel�ba pasliktin�j�s. G�dela vien�gais draugs palika Oskars Morgen�terns (sp��u teorijas rad�t�js), bet 1977 nomira ar� vi��... Beidzot G�delam rad�s p�rliec�ba, ka vi�u m��ina noind�t, vi�� atteic�s �st, un nomira no bado�an�s... G�dels nomira slimn�c�, s��ot kr�sl�, 1978.gada 14.janv�ra p�cpusdien�. Att�ls no MacTutor History of Mathematics archive - Godel Portraits |
K�p�c G�dels nav tik slavens k� Ein�teins? Vispiln�g�ko atbildi sk. Peter Suber, "Kurt G�del in Blue Hill". Da�i cit�ti: P�s savas "noz�m�bas" lo�ikas v�stur� G�dels st�v blakus Aristotelim. Bet k�p�c vi�u tikpat k� nepaz�st �rpus lo�ikas un matem�tikas profesion��u vides? Vai tas ir t�p�c, ka Ein�teina teorijas tiek uzskat�tas par cilv�ka sapr�ta triumfu, bet G�dela teor�mas - par t� sak�vi? Matem�ti�u tic�bai, ka cilv�ka sapr�ts sp�j atrisin�t jebkuru prec�zi defin�tu probl�mu, 1931.gad� pien�ca gals. Tiesa, matem�ti�i ir piel�goju�ies p�c-G�dela pasaules situ�cijai, un da�i pat uzskata, ka nepiln�g� matem�tika ir skaist�ka par iedom�ti piln�go. (No sevis piebild��u, ka t�ze par cilv�ka sapr�ta sak�vi 1931.gad� neb�s pie�emama tiem, kuri uzskata, ka G�dela teor�mas attiecas tikai uz formaliz�to matem�tiku, un neattiecas uz "dz�vo" matem�tiku. Vi�i G�delu, dro�i vien, v�rt� v�l zem�k...) (C) K.Podnieks, 2004 |
