�������� ���� ����������� ������ �������. �� ��������� ������� � �������� ������ ������ �������� ������ �� �������� ������ �����������, ������� ������� ������������ � ����������. � 1908 �. �.������� ��� �������� "��������" �������, ������� ������������ � ���������� ��� ����������� ��������, � ����������� ���� ������� ������ ������ ��������. ������� ���� � ������� ������ � ���, ����� ���������� ������� ��������� ��� �������. �������, ��� ������� Z2{~(y in y)}, ���������� � ��������� �������, � ��� �� ����, ��������� ����������� ������ ���� � �������������� �������� �� �����������.
�� ��� �� ���� � �������, ����� � ������� ��������� ������� F(y) �� ���� �������� y ���������� ��, ������� "�������� ��������� F", ������, �����������, ��� ��� ���������� y, ��������� ������, �������� ���������, ���������� �������������� ������������? ���, {y|~(y in y)} ��������, ��-��������, ��������� "���������" �������� (� ���������, ������ ��������� 0 �������� ��������� ����� ��������: ~(0 in 0)). ������ ���� �������� ����� ��������, ���������� � ���������� ��� ����� x, �� ��������� �������� �������: x in x �������� � ~(x in x) � ��������. ��� �� ����? �������, ��������� ���� ��������: ���������� ���� ������������ ����� ������� ��������������� (�� ����������), ��� �������� �������... �� �������� ����������!
�������� � ����� ����, �� ������ ������ ������� "��������" ��������, ����� �������, ��� ������� ���������. ���� ����� ������� �������� �������� ������� ������, ������� ������������ ��������� �������. ����� F(y,z1, ..., zn ) - ������� �� ����� ������ �������� (z1, ..., zn ����� �������������). ����� ����� ��������, ��� ��� ������������� z1, ..., zn ������� F ���������� n�����
A = {y | F(y, z1, ..., zn )}.
����, ���, ������� ��������� z1, ..., zn, �������, ������ ������, ������ �����. ��������, ����� {y | ~(y=z1)} ������� �� ���� ��������, �������� z1, � ������� ������� �� ����, ��� ������������� z1. � ������ �������, �����
V = {y | y=y}
������� �� ���� ������ �������� � �� �� ����� ���������� �� �������.
������ ��������� �������� �������: ��������� x ��������� � ������� {y | y in x}. ������ �� ������ ����� ����� ������� � ����������. ��������, ����� �������
R = {y | ~(y in y)}
�� ��������� �� � ����� ���������� (���� ���������, ��� R ��������� � x, �� y in x ����������� ~(y in y) � ��� y=x ���������� ������������). ����� ������ ������� �������� ������������ ��������. ��, ��� ������ ��������� ����������� ������ ��������, ������ ����� ��������� ���������������� "�������������" ��������������� �������.
������ ����� ���������� ���������� �������: A, B, C, ... (� ������� �� ��������, ������������ ��������� �������: a, b, c, ... ). ����� ����������� ������ ������ ��� ���������, ��� ������ �����
y in A, A=B, A<=B, A^B, AUB, A-B
�� ��������� ��������������� � ����� ������ �������� (� ������� ��� "��������� ����������"), � �������� �����-������� ����� ��������� ��� ������ ���������� ������� ��������� ������ (������� F ���������� ����� A, ������� G - ����� B):
F(y), (Ay)(F(y)<->G(y)), (Ay)(F(y)->G(y)), F(y)&G(y), F(y)VG(y), F(y)&~G(y).
� ������ �� ������, ������ �.�������, �������������� �� �������� ����� �����������, ������� ������� ������������ � ����������. ���� ��������� ���������� �� ��������� �.������� ���������� ��������������������, ������������� �������.
�����, ��-��������, ���������������� ������ ����������� ����� �������� - ��������� � ������� ���� ����������������� ������� ����� ��������� ��� ���������� ���������. ��� ������������, ��������, ��������� ������������ ����������� ����� - ������ �����, ������� ����� � �.�. � ����� �� ������ ����� ��������� �������: ������� F(y), �������������� �������� �� ����� ������ �������� (��� ������� ����� ��������� ����� y ��� � ��������� z1, ..., zn), �������� ����� ��������� ��������� x ��, ������� ������������� F. ��� ���������� �������� �������� ������������ ��������� �, ������������ ����� z.
����� ��������� ����� ������ �����������, �������� ��������� ����� ������ ���������: ���� F(y, z1, ..., zn ) - ����� ������� �� ���������� ����������� y, z1, ..., zn, �� ���������� ���������� x, z, �� ��������� ������� ����������� ��������:
(Az1 ... Azn)(Ez)(Ay)(y in z <-> y in x & F(y, z1, ..., zn)). (Z21{F})
����, ��� ��� ������� ������ ����� �����������, � ������ Z2{y in x & F(y, z1, ..., zn)}. �������� �������� ������� ��������� ������������� � �������� �������: ���� ������� F ���������� ����� A, �� ������� Z21{F} ����������, ��� ����������� A^x (������ A � ��������� x) �������� ����������: A^x = z.
������ ����� �������� ������������� ������� ���������, �.�. ������� (Ex)(Ay)~(y in x). � ����� ����, �� ��� �����, ��� �����-�� ��������� ���������� (��� ��������� ������ ������). ����� x0 - ���� �� ����� ��������. ����� � ������� ������������ ������� ~(y=y) � ������� Z21{~(y=y)} �������� ��������� x �� ���������
(Ay)(y in x <-> y in x0 & ~(y=y)),
�.�. (Ay)~(y in x), ��� � �����������.
� ������ �������, ������� Z1 �����������, ��� ���������� ������ ���� ������ ���������: ���� ��������� x1, x2 ��� �����, �.�. (Ay)~(y in x1) � (Ay)~(y in x2), �� (Ay)(y in x1 <-> y in x2), � ������ �������� Z1 ��������, ��� x1 = x2.
��� �������� ������ �������� �� ������ ��� ������� ��������� ������ �����������, �������� 0. ��, � ���������, � ����� ������ �������� ��� ��������. ���� �� ������ ���� ����� ���������, ��� �� ����� ��������, ��������� ����� ��������� ������ ��� ���� ��������� � �.�. ��� �����. �����������, ������, ��� ����� �������� ������ ��� ��������, �� ����������� ����������� �����������.
���� �� ����� ������������ � ����� ������������ ��������� 0, �� �������� � ���� ������ ��������, �� ������ ������� ����� �����, ����������� ���������� ���� �����������, ���������� 0, � "������ �����" ����� ������ ��������. � ���, �����������, ������ ������: ���� �� ����������, ��������, ��� ��������� 0 �������� ���������, ���������� � ������� F(x), �.�. ����������, ��� ����� ����� F(0), ��� ����� �������� � � ������� �������, �� ���������� ������ 0:
(Ax)((Ay)~(y in x) -> F(x)),
�.�. ���� x - ������ ���������, �� F(x). ��� ��� ������������� � �������������� ������� ��������� �� ��� ��������, ������� ����������� ����� �� ���������. ���������, ����� �������, ������������ � ������������ ������ 0 - ��� ������ ����� ���������, �� ������� ����� ����������� (�� �������� �� ������).
���������� ����� ��������� � � ������ �������, ����� ������� �������� ������������� � �������������� ���������, ���������������� ��������� ������� tau(x), �.�. ������� �������� �������
(Ex)tau(x), (Ax1Ax2)(tau(x1)&tau(x2) -> x1 = x2).
�� ����� � ����� ������ ������ ������ ����������� t ��� ����� ������������� �������, � ������������ �� � ����� ������������. ��� ���� ������ ����������� F(t) ("t �������� ��������� F") ����� �������������� � ��� t: (Ax)(tau(x)->F(x)). ������ ���������, ��� ������� tau(x) �������� �� ������ ��������� ���������� x, �� � ���������, ������, z1, z2, �.�. ������� ����� ��� tau(x, z1, z2). � ���� ������, ���� ��������, ��� ������ ���� z1, z2 ������������� ������������ x, ������� tau ���������� �� �������� ��������� �������� ��� �����������. ���� ���������� ��� �������� ����� %, �� x=z1 % z2 ����� ����� ��������� ������� ������� tau(x, z1, z2). ���� ������������ ����� �������� ������������, ��������� �����������, ��� ����� �����, ��������, F(z1%z2), ����� ���������� ��� ������� "%":
(Ax)(tau(x,z1, z2)->F(x)).
������������ �������� � ���������� ����� �������� � �������� ������ ���������� � �������������� ������������ ������ ��������. ������ ������������ �������� �� ���������� ���� ��������������� ��������.
���������� 2.4. �) ��������, ��� ��� ����� ���� �������� x,y �� ����������� x^y � �������� x-y ����� �������� �����������. ��������� (��������� ���� ��������) ������������ ������������� �������� �������� "^" � "-".
�) ��������, ��� ���� A<=B � A - ����������� �����, �� � B - ����������� �����.
����������� �) ��������� ���� �� �������, ������ ��������� ������ �������� ������������. ��� �� "��������" - ���� ����� ���������� ������� ������� ������������ ���������-��������, �� ��� ������ ��� ������ ������� ����������. � ���������, ������ ������� ���������� ����� ���� ��������:
V={y | y=y},
��������� R<=V, ��� R={y | ~(y in y)} - ����� �������.
� ���������, ������� ��������� ��������� �������� ������ "�������" ��������� �� "�������". � ����� �����������, ��� ���� �� ���� ��� ����������� ������������� ������ ����������� ��������� - �������. ������� �������� ������ ����� ������������� �������.
���������� �� ��� �������� ������� ����. ���� x1, x2 - ���������, �� ����� ���������� ����� ���������, ������������ ������ ����� {x1, x2}. ����� ��������� ����� ������ �����������, �������� ����������� ��������� �������:
(Ax1Ax2)(Ez)(Ay)(y in z <-> y=x1 V y=x2). (Z22)
����, ��� ��� - ������� ������ ����� �����������, � ������ Z2{y=x1 V y=x2}.
����� ������ ��������� ����� ���������� �������� ������� ������������� ����. ����� ����, ��������� �� x1 � x2, ����� ���������� ����� (x1, x2), ����� ����������� ������� �� ��������������� ���� {x1, x2}. �� ����� ������� ������ (x1, x2) � ���� ������ ��������? ���� � ��� "��� ���� ���������"! ��� �������� ������� ������� x1 � x2? � 1921 �. �.����������� ��������� ��������� ���������� ����������� ������������� ���� ����� ���������������:
(x1, x2) = {{x1},{x1, x2}}.
���������� ����, ��� x1 ������ ����� �������� ���� �� ��������� � x2 , �.�. ����� ���� ���������� ��������� �������.
���������� 2.5. �������� ������������ ����������� �.������������:
~(x1=y1 & x2=y2) -> (x1, x2)<>(y1, y2).
������, � ���������, ��������, ��� x1<> x2 -> (x1, x2)<>(x2, x1).
������ �� ����� ������ ������� ��� ���������� ������� ��������� ������������:
AxB = {(u,v) | u in A & v in B},
���, ����� �����:
AxB = {z | (EuEv)(u in A & v in B & z=(u,v)}.
�������� �� ��������, ��� ��������� ������������ x x y ���� �������� x, y �������� ����������. ���� ������ ����� ����� ������������ ����� �������� ������� ��������� ����������� (��. ������).
������ �� ����� ������ ����� ������� ���������. � ����� ����� ������ ���������� ������� �������� ������������ �����, ��������� ������ �� ������������� ���. �.�. ����� Q={y | F(y)} ����� ���������� ����������, ����
(Ay)(y in Q -> (EuEv)y=(u,v)).
���� ����� F(u,v) ���������� ������� (Ey)(y=(u,v)&F(y)), �� ����� ������ �����: Q={(u,v) | F (u,v)}.
��������� ������� �� �������, ��� ��������� ��������� �������� ������������ ��������, ��������:
E = {(u,v) | u=v}, C = {(u,v) | u in v)}.
���� ��������� ������� ������ ���������� ����������� ������������ ����������� ��������. ����� ������ ������������ �������� ����������� ���� xUy � ���������� ����� ����������� ������������ ����� ��������. ����� �� ����� ������ - ����������� ������������� "��������� ��������":
Ux={y | (Ez)(y in z & z in x)}.
����� �������, ����� Ux ����������, ���� ���������� ��� �������� ��������� x, �.�. ������� ������ ��� "�������� ���������" x. � ���������, U{x,y} - ��� ������� xUy. ��������, U{0, {0}}={0}.
������� ����������� (��� ������� �����) ��������� ����� U� ����������:
(Ax)(Eu)(Ay)(y in u <-> (Ez)(z in x & y in z)) (Z23)
��� ����� ������� ������ ����� �����������, � ������ Z2{(Ez)(z in x & y in z)}.
���������� 2.6. �) ��������, ��� ���� A - ����������� �����, � x - ���������, �� A-x �������� ����������� �������.
�) ��������, ��� � ������� ������ ���������, ���� � ����������� ����� �������� ������������� ������ ����������� ��������� ���������, ������������ �� ���� 0, �������� {0, {0, {0}}, {0, {0, {0}}}}.
� ������� ������� ����������� ����� ��������, ��� ���� A, B - �������� ������ � ��������� ������������ AxB - ���������, �� A, B ����� �������� �����������. � ����� ����, ������� �����- ������ ������� v0 in B, ����� ��� ������� u in A:
(u,v0) in AxB,
{{u},{u,v0}} in AxB,
{u} in U(AxB),
u in UU(AxB).
����� �������, A <= UU(AxB). ��������� AxB - ���������, �� �� ������� �����������, UU(AxB) - ���������, �.�. ����� A ���������� � ���������, ������� ��� �������� ����������. ���������� ������������, ��� ���������� �������� B.
���������� 2.7. ��������, ��� ��������� E, C, ������������ ����, �������� ������������ ��������.
��������� ������ ����������� ����� � ���������� � 70-� ��. �������� ���� - ������ � ������� ������������� ������� �������������� ����� �� ������ ������� ������������ �����. ���� �� ����������� ����������� "���������� � ����" ������������������� ������������ ����� (�.������), "�������" ��������� ������������ ����� (�.��������) ��� ����������� ����������� �������� ������, ������ � "������������" �������������� �����, ���������� ���������� ������� "�������������" ��������� ����������� �����. ����� ����� ��� ����� �� ������� �������� ������: ������ ����������� �����, ��������
0,1010110011000010111...,
����� ����������� ��� ������������������ ������� ���������� ��������� ����������� �����, � ������ ������
{1,3,5,6,9,10,15,17,18,19,... }.
�������� ����� �����. ����� �������, �������� "������������" �������������� �����, �� ��� ����� ������ � ������ ������� ���� �������� ����������� �����. � ��� �������, �� ��������� ������ ������� � "�����������" ���� �������, ��� ����� ������� ��� ����������.
����� ������� ��� ����� �������� ��������, ����� ����������� ������� �����������. ����� x<=y ����� ���������� ������� (Az)(z in x -> z in y), �.�. �������, ������������, ��� x ���� ������������ y.
������� ��������� ����������� (�� �������� ����� �������� �������):
(Ax)(Ez)(Ay)(y in z <-> y<=x). (Z24)
��� ������� ������ ����� �����������, � ������ Z2{y<=x}. � �������� ������� ����� ������� Z24 �������� � ����������. ��� ������� ��������� x ������������ �����
P(x)={y | y<=x}
���� ��� �����������. ������� Z24 ����������, ��� ���� x - ���������, �� P(x) - ����� ���������.
�� ������� ��������� ����������� ��������, ��� ���������� �������� ��������� ������������ ����� ���� �������� x � y:
x x y={(u,v) | u in x & v in y}.
� ����� ����, ���� u in x � v in y, �� {u} in P(x), {u, v} in P(xUy) �, �������������, (u, v) = {u, {u, v}} in PP(xUy). ����� x x y ����������, ����� �������, � ��������� PP(xUy). �� ��������������� ������� ��������� ����� ��������, ��� ��� ���� ����� ����� �������� ����������.
��������� F={(u,v) | F(u,v)} ���������� ��������, ���� ������� u ������������� �� ����� ������ v:
(u, v1) in F & (u, v2) in F -> v1 = v2,
������� �������,
(AuAv1Av2)(F(u, v1) & F(u, v2) -> v1 = v2).
� ���� ������ ����� ���������� (u,v) in F � ���� F(u)=v.
������ ������� ������������� ������� ����������� � ������� ��������. ��������� ��� ������� ����� ���������� � ��� �����- �������� ��������� Q:
dom(Q)={u | (Ev)(u,v) in Q},
rng(Q)={v | (Eu)(u,v) in Q}
(domain, range). ���� Q - �����, ��, ������ ������, dom(Q), rng(Q) ����� ����� �������� � ������������� - �����������. ��������, ��� ��������� E = {(u,v) | u=v} (��� �������� �� �������� ������������� ��������: E(u)=u) ����� dom(E)=rng(E)=V.
���������� 2.9. ��������, ��� ��������� Q �������� ����������, ���� � ������ ���� dom(Q) � rng(Q) - ���������.
�������, ������������ ������ 0, �.�. O={(u,v) | v=0}, ���� ������ ������� - ������������ ������, ������� �������� ������� �������� ����������: rng(O)={0}. ����, ��� ������� ����������� ����� ������� ������ ���� ����������� ������� (� �������������: dom(O)=V). �� ���� ��������, ��� F - �������, � dom(F) - ���������, �� ����� �� ���������, ��� rng(F) �������� ����������� �������? �������, ����� �� ������ ����: ���� ������� ����������� ������� �������� ����������, �� � ������� �������� ������ ���� ����������. ������, ����� ������� ����� ������ ����������� ��������, ����� ����������� �������, ��� ���������� ����� ������ �����������. �.������� ������� ��� ����� � ����� �������������� ������� ������ 1908 �. ��, ��� ��� ���������� ��� �������������� ��������� ������ "������" ������ ��������, ������� ���� � 1922 �. �.��������.
���� F - ������� � A - �����, �� ����� F"A ������� ������- ���� ����� A ��� ����������� ����������� F:
F"A={v | (Eu)(u in A & F(u)=v)}.
���������� 2.10. ��������, ��� ���� f - �������-���������, �� ��� ������ ������ A ����� f"A �������� ����������.
� ���������, ���� f - �������-���������, �� ��� ������ ��������� a ����� f"a ����� �������� ����������. �� ���� ������ f ����� �������-����� F? ����� �� ����� ����� F"a ����������, ���� ���������� �������� a? ���� F �������� ����������� �������, �� � ����� ������ �������� ����� ������� ������ ������������� ��� ����. � ���� ������ F - ������������, �������� ��������� ��������
F={(u, v) | F(u, v)}.
������, ��� F - �������, �� ����� � ���� ������ ��, ��� ������� F(u, v) ������������ u �� ����� ������ v. ���� �� ������� �������� u ��������� a � ��������� ������ ������� ������ u ��������������� ��� v, �� �� ��� ����������� ��������� a? ����������, � ������ ���������. ����� ������ ����������� ������� ������������, ������ �� ����� ������������ � ���������� (��������, ������� �.������� � �� ������� �� ���� ��������). ������ �������������� ������� �������� ����� ��� ��������� ��������� ��� (�����������, �������������� ��� ����������� �����), � �� ��� �������� ��������� ������������, ������� ������ ������� �����������. � ������ ��������, ������, ����� ������������ �����������, ������� ����� ������� ��������� ���� ������ ����������� ��������, ������ �.��������, ��������� ����� ������ �����������:
F-������� -> (Aa)(Eb)F"a=b,
���, ����� �����, ���� ������� F(u, v, z1, ..., zn) �� �������� ���������� v1, v2, x, y, a, b, �� �������� Z25{F} ����������� ��������� �������:
(AuAv1Av2)(F(u, v1, z1, ..., zn) & F(u, v2, z1, ..., zn) -> v1 = v2) ->
->(Aa)(Eb)(y in b <-> (Ex)(x in a & F(x ,y ,z1, ..., zn))).
����� �� ����� ����� ���� � ������� ������� ����� �����������, � ������ � ��������� Z2{(Ex)(x in a & F(x,y))}, ������ ��������� ��� ������� �����������, ������ ���� ��������, ��� ������� x ������������� �� ����� ������ y ������, ��� F(x,y).
���������� 2.11. �) ��������, ��� ���� A - ����������� ����� � a - ���������, �� ���������� ����-����������� (�����������) �������, ������������ A � a.
�) ��������, ��� ����� ����������� ������ ����� ��������� Z21.
�) ��������, ������ �.�����������, ��� ������� ���� ����� ������� �� ��������� ������ (��������� ������ Z24, � ����� - Z25).
���������������� �� ��� ��� ������� ���� �� ���� �������� �������� ������ ������������� �������� ��������, ����������� �� ���� ������� ��������� 0, �������� {{0}, {0, {0}}, {{0}}, 0} (��. ���������� 2.6�). � ����� ����, ��� ��� ������� ����������� � ������� �������� �������� (���������). ������ ����������� ��.��� �������, ��������� �� ���� �������� ����� ������������ � �������� ����������� �����: 0 ����� ������� �����, {0} - ��������, {0, {0}}={0, 1} - ������ 2, {0, 1, 2} - ������ 3 � �.�. ���� ��������� cn ��������� ������ n, �� cn+1 = cn U{cn} ����������� ������ n+1. �������� ��, �� ����� ������ � ��������� ���� ����������� �����:
{0, 1, 2, 3,..., n, n+1,... }.
� ���������, ��� ��� �������� �� ��� ��� ������� ����������� ����������� � ������� �������� ��������, �� � �� ������� ���������� �������� ������������� ���������, ���������� �� ���� ����������� �����. �������� ���������� (��������) ���� ����� ���� ����������� �����. ���� ����������� ���������� �����
x=c0 V x=c1 V x=c2 V... Vx=cn V...
n����������� � ����� ����� ������ ��������. �� ��.��� �������, ������� ������������ ����� � ������ �������� ������������ ����� ��������� ���� ��������� �������:
�) ��������������. ��������� x ���������� ������������, ���� ������ � ������ ����� ��������� ��� �������� ����� ��� �������� ����� ��������:
(AuAv)(u in v & v in x -> u in x).
����� ���������, ��� ������������ ���� ����������� ����� �������� ������������� �����������.
�) ���������� �������. ��������� "<" ���������� ���������� ������� �� ��������� x, ����
(Aa)(a in x -> ~(a<a)),
(AaAbAc)(a,b,c in x -> (a<b & b<c -> a<c)).
����� ��������, ��� "<" �������� ������������� x, ���� ������ �������� ������������ � �������� ��� ����������, ��� � ���������� ��������. ���������� ����, ��� � ��������� ������ ��������� x ������ ���� ��������. ����������� ���������� ������� ����� ������� ���� �� ����������� ���������� ���������.
��.��� ������ ��������� ���������� ����� N ���� ����������� ����� ��������� �������:
N ={y | y ����������� & y �������� ����������� ���������� �������������� " in "}.
���������� 2.12. �) ��������, ��� "�����������" ����������� ����� ��� �������� ���������� ������ N, �.�. ��� cn in N ��� ���� n. ��������, ��� ��� ����������� �������� ������ ������, ������� �� �� ����� "��������" � ���� ����� �������.
�) ��������, ��� ���� x in N, x<>0 � y - ���������� ������� x, ��
x-{y}in N, x - {y}in x, x -{y} = y.
�������� ������, ��� N �������� ������ ���� ���������, ���������� ����� n ��������� - cn.
�) (�������� ������) ��������, ��� � ������ N ����������� ������� ������������ ���������� (�.�. ������ EA �� ������� 3.1). ��. ���������� 2.13.
���� �� �������� �������, ��� ����������� ����� �������� ���������, �� ������� ������� ��������������� ������� ����������� Z2{y in N} ���
(Ex)(Ay)(y in x <-> y in N). (Z26)
��� ��� ������� Z26 ������������ ������������� ����������� ��������, �� ������� �������� �������� �������������.
���������. ������ ������� ������������� ������������� ����� ������, ��������
(Ex)(0 in x & (Ay)(y in x -> yU{y}in x)).
����� ���� ���� � ���������, ���������� ��� ����������� �����. �� ���� ������� ����� ������� Z26 (� ��������).
������� Z26 ����������� ������������� ������ ������� ��������. ������������� ��������� �������� �������� (������, ����� �������� Z26) �� ������� ��������� ����������� Z24: ���� ����� w ���������� ��������� ���� ����������� �����, �� ��������� P(w) ����� ���������.
���������� 2.13. ��������, ��� � ��������� w ����������� ������� ���������� ����� (��. ������ 3.1).
���� ����������� ��� "��������" ������� ����� �����������, ������� ����������� � ���������� (� ������������ ������� ����� �� ������������ ��������).
� ����� ��������� ��������� �������� �� ��������, ��� ��� ���������� ������ ���� �������� �� ��������� �������� ��������� ��������� - ��� ����� ���������, ����������� �� ������� ��������� 0. ������ �������� ���� �� ��� ������� �� ����� �������������, ��� ������ ���������, � ������� ���� ���� � ����� ������, ������������� ��������� "�� ������". ���� � ���� �������� ���� ���� � ���, ����� ��������� ����������, � �� ������� ������ � ����������, ������� "�� ������ ������������". ���� ������� �� ���������, ��������, ������������� ��������� x ������, ��� x in x (�.�. x - ������� ������ ����), ��� ������������� ���� �������� y,z �����, ��� y in z & z in y.
����� �������, ������, �������� �����������, ��� "������ ��������� ��������� �� ������"? ���� �� ��������� �������� ������� � ���������: ���� �� ��������� �� ��������� x0 � ��� �������� x1, ����� � x2 - �������� x1 � �.�.:
... in x3 in x2 in x1 in x0 ,
�� ���� "�����" ������ ���-�� ����������. ������� �� ������������, �� �������� �� ��������� x = {x0, x1, x2, x3, ...}, ���������� ���������: ��� ������ y in x �������� z in x �����, ��� z in y. � ���������� ����� �������� � ������� ����� ������� ������������ (��� ������� ������������):
~(Ex)(~(x=0) & (Ay)(y in x -> (Ez)(z in x & z in y))). (Z3)
������� ������������ ���� � 1925 �. ��.��� ������. ������ ��� ������? ���� � ���, ��� ������� � "�������������" ������ ��������, �.�. ��������� ����������� ��������� �������� � ������� ������ ����������� (����������� �����, �������������� �����, ������� � �.�.) � ��������� �� �������, ��� ���������� � �������������� ��������������� ������ ��������. ��� ����������� ��������� ������������� �������� ���������, ������������ � ������� ������������. � ������ �������� � ������������ �������������� ������������ ������ ������ ��������, ���������� ��������� ��������, �������� ������ �������� ��� ��������� ������.
���������� 2.14. �������� �� ������� ������������, ���
�) R=V (����� R - ����� �������, V - ����� ���� ��������), �.�. ��������, ��� ~(x in x) ��� ���� x,
�) ���������� ��������� y, z �����, ��� y in z & z in y.
���������� ������, ������������ ��������� ������� �������� Z1 (������� ������������������), Z21 (����� ���������), Z22 (������� ����), Z23 (������� �����������), Z24 (������� ��������� �����������), Z25 (����� �����������), Z26 (������� �������������) � Z3 (������� ������������), ������� �������� ������� �������� �������-�������� � ���������� ����� ZF (Zermelo, Fraenkel).
������, ��� �.������� ������� � ���� ������� ������ ��� ������� ������.
���� ���������� ��������� x �������� ������ �������� ���������, �� ����� ���������� ���������� ������� f, ������� ������� y in x ������������ f(�), ������ ���������� z in y (��������� y �������). ����� ������� ����������� ������� �������� ������ ��� (��������� ��������) x: � ������ �� �������� ������ ��������� ��� �������� �� ������ ��������. ��� ������� �� ��������� �������� �������� ���������� ������� ������? ����� ������ ����� ������������� ����� �� ���� ������, �� ����� ������� ����������� ������� - ��� � ���� ������� ������:
(Ax)((Ay)(y in x->y<>0) ->
->(Ef)(f-������� & dom(f)=x & (Ay)(y in x->f(y) in y))).
� 1904 �. �.������� ����������� ���� "������� ������������� ������" ��� �������������� �������, �������� ������� ����� ��������� ����� ������ �����������. (���� (x,<) ���������� ������ ������������� ����������, ���� ������ �������� ������������ x �������� ���������� ������� � ������ ��������� "<".)
���������� 2.15. �) �������� �������� �����������: ���� ��������� Ux ����� ������ �����������, �� ��� � ���������� ������� ������.
�) ��������, ��������� ������� ������, ��� ������ ����������� ��������� �������� ������� ������������.
������� ����� ��������, ��� ������� ������ �� �������� �������� �����������: ������� f, ������������� ������� �������������, �� ������������ ��������, ���������� ��������� f(u)=v. ������ ���� ���������������� �������� ������� ������ �������������� � �������� "������� ������������� ������" (����� ��������� ������������ �������� �� ��, ��� �������� ������������� �������� ������� ������ �� �� �����). � ������ ���� �� ���������� ���� ������� �������� ����������� ����������� ����� ������������� ������ �.������� � 1904 �. �������� ����������� ���� �.������, �.����� � �.���. �� �� ������, ����������� ����� ����� ������������� ������ - ��� ������ �����������, ��������� �� ������� ���������� � ����������� ������ � ������� ������ ����� (����� �������� �� ������� ������� ������ ��. ����� �.�.��������� [1982]).
� ������ ����� ����������� ��� �������� �� �������, ������� ������� ������� ������ ��� ���������� ��. ������� ��� ���������� ������ ��������, � ������� ������ � ��������� ZF ����������� � ������� ������, ������������ ������ ����������� ZFC (�� axiom of choice). � ������ ZFC ����� ������������� ��� ���������� ����������� ������ �������� �.������� � ��� �������������� (��. ����� �.���� [1973]). � ��������� ��������� �������������� ������ ����� ���� �������������� ���������� ������ �������� (��� ���� �������� ��� � ����� XIX �.), �� ZFC - ���������� ������, ������� ���������� ��� ����������. ��� ��� �������� ������ ���� ��������� ���������.