2.4. ������ �������� ����������

�� ��� ������, ����� ������� �.������ ������ � 1877 �. � �������� ����������. ������ ����� ���������, � ��� ����� ����� ������� ����������� ��������� �����, �� ��������� ������ ��� ���� ����� ��������:

- ������� ��������� (�� �������� ����� �������������� � ������� ����������� �����),

- ���������, ������������� ������� ������ (�� ����� ������� ���������� ���������� �� ������� ������, � ���� ������ ��� ����� �������� ����������).

������� �.������ �����, ��� ������ ����������� ��������� ����� ���� ������ ���� �������, ���� ����� �������� ����������, � ��������� ���� ������������� ��������. ������ ��� ��� �� ������� �� �����, �� � ����������� 10 � 20 ���. �� ������� ��� � ��� �������������� ��������������. � ��� ������, ��� ������� �� �.������, ���������-�������� �� ������ �� ��� ���.

������� ��� ��������������� ���������-�������� �.������ ������ ������ ���������� ����� (��� - ��� ������� ������� �������� - ���������). ���������� ����� - ��������� ����������� �����. ���� ����������� ����� ������������ ��� �������� ��������� �������� ��������, �� ���������� ����� - ��� �������� ��������� ����� �������� (� ��� ����� �����������). � ���� ����� ���������� ����� �.������� ������� ��� ������������ ���������� ����� ����� (��.������ 2.1): ��������� ����������� ��������� �������� ��������

P', P'', P''',..., P(n), ...,

�� ���������, ��� ����������� ���� �������� �������� "����������� ���������� ������������ �������", ������� ����� ���������� ����� P(w) , ��� w - ������ ����������� ���������� �����. �� ���� �� P(w) ����� ����������� ������� �������, �� ��������� ����������� ���������� ��� ����� P(w+1) , ������ ������� P(w+2), P(w+3) � �.�. �� ����� ����� "�������" �������, ����������, w+w (��� w*2). � ��� ������:

w*2+1, w*2+2, ..., w*3, w*3+1, ...,

w*w, w*w+1,...

������ ���������� ����� ������� � ����������� ���������� ������ ��������. ��� ��� ��� �������� � ������ ZF (������ ����� ��.��� �������).

�������� (��.������ 2.3), ��� ������������ ������� �� ������� ������������ ���������, �������� ������������� ���������� �������������� "in", �.�. x - ����������� �����, ����

�) (AzAy)(z in y in x -> z in x) (��������������),

�) ��������� "in" �������� ���������� ������� �� x,

�) ������ �������� ������������ x ����� ��� ����������, ��� � ���������� �������� � ������ ��������� "in".

���� ��������� � �. �) ���������� � ������������� ����������� �������� (������� ������ ����������), �� ��������� ����������� ����������� ����� (��� ��������) �� ��.��� �������: ������� - ��� ������������ ���������, ������ ������������� ���������� �������������� "in".

���������� 2.16. �������� ������� "x - �������" � ���� ������� ����� ������ ��������.

����� �������, �������� �������� �����, ������� ������� ���������� ����� On ("Ordinal numbers"). ���� �������� ����� ���������� ����� a, b, c � �.�.

������������ ���������� ������� ����� ��������� �������� in:

a<b <-> a in b.

�������, ���

a in b & "b - �������" -> "a - �������",

�.�. ���������� �������� (��� ���������) ����� ���� ������ ��������. ��� ����� �� ������ ���������, ��� a - ������������ ���������, ������ ������������� ���������� in. �������������� a ������� �� �������������� b � ����, ��� in �������� ���������� ������� �� b:

x in y in a in b -> y in b & x in b,

������� x in y & y in a -> x in a.������ ��������������� a �������� �� �������������� � ������ ��������������� b: �� a in beta �������, ��� a - ������������ b (�������������� b), ������� ���� x - �������� ������������ a, �� x - �������� ������������ b, �.�. x ����� ���������� ������� � ������ ��������� in.

������ ��� ������ �������� a: a={b | b<a}. ��� ��������� ��������� n = {0, 1, 2, ..., n-1} (n - ����������� �����).

���������� 2.17. ���������, ���

�) ���� a - �������, �� aU{a} - ����� ������� (������ - ����������, ������������� a; ������ aU{a} ������� ������ a+1),

�) ������ �������� ����� ��������� �������� ���������� �������,

�) ���� x - ��������� ���������, �� Ux - ����� ������� (������ - ������ ������� ����� x).

������, � ���������, �������, ��� On - ����������� ����� (� ���� ������� ����� ��������� ������-�����: ���� ������������, ��� �n - ���������, �� ���������� ������������).

������� a ���������� ����������� ���������, ���� a=b+1 ��� ���������� b. � ��������� ������ a �������� ���������� ���������. ����� �������, ���������� ���������� ������� - 0, ������ ���������� ������� ������� ���������� ����� w.

���������� 2.18. �) ���������, ��� ��������, ������� w, - ����������� ����� (�.�. w - ��������� ���� ����������� �����).

�) ���������, ��� ���� a - ���������� �������, �� a=Ua.

������ ����� �������� ������� ������������� ��������: ���� A - ����� ��������� �����, ���

�) 0 in A,

�) a in A->a+1 in A,

�) x<=A->Ux in A,

�� A=On. ��� ��������� �������� �������������� �������� (������������� �������� �. �)). � ����� ����, ���� A<>On, �� ����� b - ���������� �������, �� �������� � A. ����, ��� b<>0. ���� b=a+1, �� a in A � ������� b in A. ���� �� b - ���������� �������, �� ��� a<b ����������� A, �.�. b ={a | a<b}<=A � Ub in A. �� b=Ub. ������� ��������.

���������� 2.19. �������� ������� � ������������� ��������: ���� G - �������-�����, �� ���������� ������������ �������-����� F, �����, ��� dom(F)=On � ��� ���� a in On F(a)=G(F|a). ����� F|a ������� ���������� ����������� ������� F �� "�������" a, �.�.

F|a = {(u, v) | u in a & (u, v) in F}.

������� G ������ ����� ���� ���� ��������: ���� �������� �������� F ��� ���� x<a (�.�. ��� �������� ������� F|a), �� G ��������� "���������" F(a).

���� ����������� ����� ��������� "�����������" ����� �������� ������������� (��������) ���������, �� �������� ��������� "�����������" ����� ������ ������������� ���������, �.�. ���������, �� ������� ������� ��������� ������� �����, ��� ����� �������� ������������ ����� ���������� �������. �����������, ��� ������ ����� ��������� ��������� ������������� ��������.

���������� 2.20. �������� ��� � ������� ������������� ��������.

������ ����������� ����� ����� �������������� ��� "���������" (������������) �������� ��������, �� ��� ����� �������������� � ��� ��������� ���������� ��������� ���������. � ������������ ����������� ������� �������� �������: ��������, ��������

w,w+1,w+2,...,w*2,...,w*w,...

������������� ��������� ������������� ������� ��������. � ����� ����, w+2 ������������� �������

2, 3, 4, 5,..., 0, 1,

� w*2 - �������

1, 3, 5, 7, 9,..., 2, 4, 6, 8, 10,...

�������, w*w ������������� ������� �� ������������ ����� ����������� �����. ��� ��� - ������ ������� ���������. ��� ��������� ���������� ��������� � ��� ����������� ������������ ���� � ��� �� ���������� ����������� ������� w.

����� �������, ������������� ��������� �����������: ������� a ���������� ����������, ���� a ������ ���������� ����-���������� �� �� ����� ������� b<a. ������ ��������� ����������� ������������ ��� ��������� ���������� ��������� ����������� ��������. ����� ������, ��� ��� ����������� ����� - ���������, � w - ���������� ����������� ��������. � ������ - �� w - ���������� ��� ���������?

��������� ������� ��������� ����������� Z24 � ����� ����������� Z25, ����� ��������, ��� �� ������ ���������� k ���������� �������� l>k, �.�. ��������, ������� ���������� ����-���������� ���������� �� k (��� ������� �.��������, ���������� � 1915 �.). � ����� ����, �������, ��� ��� ��������, ������� ����� ����-���������� ���������� �� k, �������� ���������. ������ �������� (��������� On - ����������� �����), ��� ������ ������������ ���������, ������� k.

����, ���������� ������� ��� ��������� �� ��������� k. ������ ����� ��������� - ������������ k*k, �.�. ������� ��������� P(k*k). �������� �������� �������, ���������� ����� ���� ��������� ��, ������� ������ ������������� k. �� ����� ��������� Z21 ��������, ��� ��� ��� ��������� �������� ��������� z<=P(k*k). �� ��� �����, ��� ������� �������� r in z ������������� ������������ ������� a, �����, ��� ������ ������������� ��������� (k, r) ��������� (a, in). ��������� ��� ������������ � ���� ������� F(r, a), ����� ��������� ����� ����������� Z25, ������ �����, ��� F"z - ���������. �� F"z - ��� ��� ��� ��� ��������, ������� ����� ������� ���������� ���������� �� k (���� ������ ����� ������� ���������� ��������� ������ ������������ ��������� k). ��� ����� ������� �.�������� ��������.

���������� 2.21. �������� ��� �������, � ������� ��� ���� � ��������������.

����� �������, ������������������ ���������� ����������� ��������������. ��� ����������� ����������� ���������� ������� ������������ ������ ����� ���������� �������� - aleph (����) � ���������. ���, aleph0 ���������� w, �.�. ������ ����������� �������� (������� ��������). ����� ������� aleph1 - ������ ��������� ��������, aleph2 - ������ ��������� �������� � �.�. � �� ����� alephn (n - ����������� �����) ������� ����� �������� - alephw.

���������� 2.22. �) ���������, ��� alephw = U{alephn | n in w}.

�) �������� ����� ����� ���������: ���� x - ���������, ��������� ������ �� ����������, �� Ux - ��������.

���� ��� ����������, ����� ���������� alepha ��� ������� �������� a:

aleph0 = w,

alepha+1 = ���������� ��������, ������������� alepha,

alepha = U{alephb | b<a}, ���� a - ���������� �������.

���������� 2.23. ���������, ��� ��� ������� ��������� k ���������� ������� a �����, ��� k=alepha (�.�. ��� ����� ����������� ��� ���������).

����� �������, ��������� �.�������� ��� ��������� "��������" (���������� ���������) ����������� ��������. ������, ����� �������� ��� ��������� �������� ������ ��� ����������� ��������, ������� ����� ������ �����������. ������ �� ����������� ��������� ����� ������ �����������? �.������ ������, ��� �����... � ��� ��� �� ������� ��������������. ������� �� �����, ��� ����������� � ����������� ������ ����������� ����� ����������� ��������� ����������� ������� ������ (��. ����).

��� �������� � ����� ���������� �������� ���������-��������? ���� �� ��������� ������� ������ (�������� � ������ ZFC), �� ��������� ���� �������������� ����� ����� ������ ����������� � ������� ��� �������� (��������� �� ����� c) ����� �������� � ������� ������-���� alepha:

(Ea)c=alepha

(������ �� ��� �����, ��� a>0). ���������-�������� ����������, ��� ������ ����������� ��������� �������������� ����� ���� �������� ������� (����� �������� aleph0), ���� ����� �������� ���������� (�������� c). � ����� ������ �� ����� ������ ����� aleph0 � c ������� �������� ���������� �� ����� � ������� c=aleph1. ��� ������ ������������� ���������-�������� � �������� ���������� �.�������� �������� ������. ����������, ��� ����� ������ ������� ���� �.������� � �������� �������������� ������� ���������-��������...

������ ������ � 1905 �. �.����� ����� ��������, ��� c �� ����� alephw (� �����: c<>alepha , ���� a=w*2, w*3,..., w*w,... � ������, ���� a - ������� ���������� �������). �� �������� ��� ���, ��� �������� �� ��� ���. ����� �� ����� �������� �� c<>aleph2 , �� c<>aleph3 � �.�.

������ �� �����, ��� ��� ��������� �� ��������. ������ ������� ������� ����������� �.������, ������� ������� � 1939 �., ��� ���������-��������, ���� �� ������� ��� ��������������, �� ������� ����� ������������. ����� �����, ���� ����� Con(T) ���������� ����������� "������ T ���������������" (Con - consistent), �� ��������� �.������ �������� ���:

Con(ZF) -> Con(ZFC+"c=aleph1").

����� �������, ���� �� �������� ������� ������ � ���������- �������� ������� � �������������, �� ������������ ����� ���� �� ����� ��� � ������ ZF. �.������ �������, ����� �������, � "������������" ������ ������������ ������� ������! ����, �������������� �.�������, � ����� ����� ���� ���������� �.����������. ������ �� ���� �����, ��� �������� �� ������������ ��������� ������ �� ������� ��������� ��������� ����� � ��������� ����� aleph0 � aleph1, �.�������� ��������� ���������� ��������, ��� ����� ��������� � ������ ��������� (����� ����, ��� "����������", �� �� ������ ���������). ������ ����, � ������ � 1939 �. �.������ ����� ����������� ��� ����.

�.������ ���������� ������������������ �������� {La | a in On} a(���� ��������� ������� ����� �.������ [1977]):

L0 = 0,

La+1 = Def(La) (�.�. ��� ���������, ������� ����� ����������, ��������� La, ��. ������),

La = U{Lb | b<a}, ���� a - ���������� �������.

����� L = U{La | a in On} ���������� ������� �������������� a�������� (����� ��������, ��� On<=L, ������� L ����������� ����������� �������). ������ �������� ������ L ������� ������� ��������������� �����������? "������" - �� ������ ������� ����������� (������ ������� ������ ������ �� ������� - ��� ������ �������� ������ ��� ����������� �� ���������� ������). ��� ����� Def(La), ��� � ����� ������ - Def(m) ��� ��������� m? ��� ��� ����������� ������������ m (�.�. Def(m)<=P(m)). ����������� � ������� ������ ����� ������ �������� ������ �� m. �������� � ���� �������� ������ ���� ���������� ���������� m, �.�. ��� ����� �������������� ������ � ���� ��������� ����������:

... (Ax)(x in m ->... )... ��� ������: ...(Ax in m)...,

... (Ex)(x in m &... )... ��� ������: ...(Ex in m)...

���� ������� �������� ��������� ���������� (���������), �� ��� ����� ��������� � �������� �������� ������ �������� �� m. ��������, ������� F(y,z):

y=z V (Ex in m)(Au in m)(u in y <-> u=x)

��� ������� �������� ��������� z, �������������� m, ���������� ������������ m:

{y | y in m & F(y,z)}.

�������� m, ������� ��������� � z ��� �������� ��������������� �����������. ����������, ��� ��� ������ ��������� ������ � ������, ����� m - ������������ ��������� (�.�. ���������, ���������� ����� �������� ����� ���������). ��������� ������ � ����� ������ �������� ���������� ������ ������� �����, ��, ������� Def(m) ����� ���������� ��������� ��������� (���� �� ��������� ��. � ����� �.���� [1973]).

�.������ �������, ��� ���� � ������ ZF ������������ � �������� ������� ����������� V=L ("��� ��������� �������������"), �� ����� �������� (��� �������) � ������� ������, � (��� ������ �.��������) - ���������-�������� (c=aleph1). �����, �.������ �������, ���

Con(ZF) -> Con(ZF+"V=L").

������ � ��������, ��� � "�����������" ������� ������, � ���������-�������� ����� ������� � �������� ������, �� ����� ������ � ������������. ������, ���������-�������� �� ����� ������������ �� ���� ��������� ������� - ��������� ����� ���������, ������� ����� �������� �� ���. � ����������� V=L ("��� ��������� �������������"), ��������, �����������, ��������� ������ �����������, ��� ��� ����� �������� �������� ����������������.

��������� �.������, ���������� � 1939 �., �� ������������ �������� �.������� (�������� � 1918 �.) �� ������� ���������-��������. ������ ������ ��� 25 ��� � ������������ ��������� ���� ���� ������� (� 1963 �.), ��� ��� ������� ��� �� �����������:

Con(ZF) -> Con(ZFC+"c=aleph2"),

Con(ZF) -> Con(ZFC+"c=aleph3"),

...

...

� ������

Con(ZF) -> Con(ZFC+"c=alepha+1")

��� ������ ��������� ��� �������� �������� a. ����� �������, �� �����, �� ������ � ������������, ������� � �������� ������� ����� �� ��������� �����������:

c=aleph1, c=aleph2, c=aleph3,...

� ���� (��� ������� ������� �.�.�����) c=aleph17. �������� ������ ���������� �.������� � �.������, ���������� ��������������, ��� ������� ZF, ���� ���� ������������ � ��� ������� ������, ��� ������� ���������-�������� ������������. ��� ��������� ���� �����?

����������. ����� ����� ��������� �������� ����� ������������� ������� ������ �� ������ ZF, ������ � ����� ������� ����� (��. �.��� [1973]):

Con(ZF) -> Con(ZF+Q),

��� Q - ��������� �����������: ���������� ������� ��������� x, ��������� �� ��������������� ��� (���������� ��� �������� ��������� �������������� �����), �����, ��� ��� x �� ���������� ������� ������. ����� �������, �� ������ ZF ���������� ������� ������������� ������� ������ ���� ��� �������� ��������� ���!

����, ��� ����������� � ��������, ����� ������� ������ �������� ��������� �������������� ��� ������� ����� ������ �������� (� ����� ���� ������ �������, ��. ������)? �������� ������� ����������� ���������� �� ����� �������� ���������� ��������� ������������ �.�.������, ��������� � 1927 �. (���. �� ������ �.�.������ [1974]):

"�������� ����������, ���� ������ ������� ��� ��� ��������� �����, ���� ������ ����� ����������, � ��� ������ ���������� �� ����������� ����� ���, ��� ��� �� ��� ���� (����������� ����. - �.�.), ����� ���, ���� ����������� ����� ����� �������������� ���, ��� �������� �� �.������, ���� ���������� ��� ���, �����".

aleph0 aleph1 aleph2 ... alephn alephn+1 ... alephw ...

|___|___|____... _|___|____... _|___|______...

������� ������ �������� �� ��������� ������, ��� ������ �� ����������� ����� ��������� �������� ����������, ���� ��� � ��������� ��������, ��� ��� �� ���� ����� ���������. ���������-�������� (��. ������ 1.1), ����� �� �������������� ����� ����������� �����, ���� ��� ����� �������! �� �� ����� ����������� ���� ��������, ����� ����� ��������� �� ������ (��������, ��� ���������!), ������ ���������� ������ �� �������������� ����������. ��� ���������� ��������� ����������� ����������, ������������� ������� ���������� ����� ��������� - ���� ������� ������� ����������, ��������� �������� ��� ���. ������, �������� � ������� ���������������� ��������, ��������, � �������� ����������� �.�����, ��� ������ ������ ���� ������������� ��������� (�������, ��� �������� �� �������������� �������� ���������� "��� ���, �����", ������������ ����� �� ����������� ����� ��� �������� ���������� ��� �� "����������" ����������). ��� �������� ��������� ������������� ���� ���� ("���� ��������"), �� ���������� �� ������ ������ ��������, ������������ � ������������ �����������. ����� ��������� �������������� ������������ � ��������� �����������. ����� ���� ����������, ��� ������� ������ �������� �� �������� ��������� "��������� ��� ��������", ��� ���� ������ "����� ����������" �������, � ���� - ��� ������� ������������� ������� ������ �� � ��������� ����������� ��� �������� ���������. ��� ������ �� �������� - �������� "���������� ���� ��������", �� ���������� �� ������, � ������� ������� �� �����������, �����������, �� ����������. ���������� �� ������ ����������� �.����� ������� � ���������.

����, �������� ������� (Ea)c=alepha, �� ���������� ���������� ���������� �������� a. ���� ������ ��������������� � ���������� �������������� ������������ ������ �������� (� �� � �� �������������� "���� ��������"). ��������, ������� �������� ������������������ ������ ������. � �����������, ��� ��������� �������� ����� ����� ���� ���������.

������������ ������� ������������ ������� ���������������� (V=L). ��� ��������� ������ �� ������ ���������-�������� (��������, ��� c=aleph1), �� � ������ ��������, ����������� �������� ZF (���� ������ � �������� ������). � �������� ������� ������� ���������� ��������, ���������������� ������� ����������� �.�������� � 1920 �.

�������� �������. ����� (p,<) - ������������� ���������, ������

�) p �� ����� �� �����������, �� ����������� ���������,

�) ������� "<" - ������� (�.�. ���� x<y, �� ���������� z �����, ��� x<z<y),

�) ��������� p - ������ (�.�. ������ �������� ������������ ������������ p ����� ���������� ������� ����� � ���������� ������ �����),

�) ������ ��������� ������� ���������������� ���������� p �� ����� ��� ������.

����� ���������� �������� ��������� ���� �������������� �����. �.������ �����������, ��� ������ ������������� ���������, ���������� ���������� �) - �), ������ ���� ��������� ��������� ���� �������������� ����� (�������� �������).

�������� �������, �������� ��, �������� ����� ����� "�������" �������������� ����� (��� �� ��� ���������-��������). ������ � ��� �������� ����������� � ������� ������ ZFC (��. �.��� [1973]).

���������� 2.24. ��������, ��� �������� ������� �������� � �������: ������ �� ������������� ���������, ���������� ���������� �) - �), �������� ������� ������� ������������ (����� �������������� ����� ��� ���� ������ ������������ �����)?

�� ������� ���������������� �������� ������������� ������� �������� �������: ���������� ������������� ���������, ���������� ���������� �) - �), ������� �� �������� ������� ������� ����������� (� ������� �� ��������� ��������� ���� �������������� �����). ��� ������� � 1968 �. �.����� (��. �.������ [1977]).

���������� ������� ���������������� �������� � ������� � ������ �������, ������� ���������� ZFC. ��� ����� ������� ��������������� � ����� �.������ [1977]. ������ �������� ZF+"V=L" �����������, ����� �������, ������ �������. ������ ������ ���������� �� �������� ������� V=L "�����������" ��������. ��-������, ������, ��� ����������� �� ������ �� ����� ������ �������� �������� ��������� ����� ��������, ��-������, ������, ��� "����������", ������ ��� ��������� "������ ����" ���������������.

��������. �� ��� ������, ��� ������� ������������� Z26: (Ex)x=N (�� ����������� ������ ����� ����������� ���������� �������) ����� �������� ����� �������� �������� (��. ������ 2.3). ��������� �������� ����� ������� ������ ������� ����������������?

������� ���������������� ������� �������������� � ����������� ������� ������: ��� ��� ������� ��������� ��������, ��� ��������� ���� �������������� ����� ����� ������ �����������. �� ��������������, ��� ����� ��������� ������������ "����� �������" �������������� ������. ������ �� V=L ��������� ������� ����� ������� ���������: ����� �������� ������� F(a, x), ������� ������ �������, ������������ On �� V, �.�. �������, ������� "�������������" ����� ���� ��������.

������ ���� �������� ������ ��������, ����������� ���������� �������� ������ ZFC, ��� ��������� � 1962 �. ��������� ������������ �.���������� � �.����������� - ��� ���������� ������� ������������������� (���� ��������� ������� ����� �.�.������� [1984]).

������ ��������� A ������������������� ����������� ����� (������� ���� w->w) ������ ��������� ����. ����� 1 ����� ����������� ����� a0. ����� ����� 2 ����� a1, � ����� 1 - ����� a2 � �.�. ���� ������ 1 - ��������, ����� ���������� � ���������� ����������� ������������������

a0, a1, a2, ..., an,...

��������� ��������� ��������� A (����� ����� 1 ��������� �����������). ����� 2 ���������� ����� ��������������� ���� - ����� ������������������ �� ����� ��������� A.

���������� ������� �������� ������� S, ������� ������ �������� ������������������ a0, a1, ..., an ������������ ��������n��� ����� b = S(a0, a1, ..., an). � ���� A ��������� S ���������� ���������� ��� ������ 1, ���� ��� ����� ���� ������ 2:

a1, a3, a5, a7, a9,...

������������������

a0 = S(lambda) (lambda - ������ ������������������),

a1,

a2 = S(a0, a1),

a3,

a4 = S(a0, a1, a2, a3),

...

...

����������� ��������� A. ���������� ����� ���������� ������� ���������� ��������� ��� ������ 2.

��������� A ���������� �����������������, ���� ���� �� ������� ����� ���������� ��������� � ���� A.

���������� 2.25. ��������, ��� ���� A - �������� ��� ������� ���������, �� ����� 2 ����� ���������� ���������. ����� �������, ��� ������� ��������� ����������� ������������������.

����� �������� ������������������� � ������ ����� ��������. ������, ��������� ������� ������, ����� �������� ������������� �������������������� ���������. �� ��������� ��� ������ ��� �� ������� ������� ��� ������� ������, �� ������ ����������� ��������, ��� �����������

"������ ��������� ���������������"

(��� � ���� ������� ������������������� - AD) �� ������������ �������� ZF (���� ��� � ������������ ������� ������).

������ ���������� � ������ "��������������" AD ����� ������� �� ������ � ��������� �������������������� ����� (��. �.�.������� [1984]):

(Ea0)(Aa1)(Ea2 ) ... (a0, a1, a2, ...) in A) V (Aa0)(Ea1)(Aa2) .. .~(a0, a1, a2, ...) in A).

������ ����� "�������" �������� ������������� ������������ ��������� ��� ������ 1, ������ ����� - ��� ������ 2. ���� ������ ����� ������������� � ����

~(Ea0)(Aa1)(Ea2) ... (a0, a1, a2, ...) in A,

�� "�������" ��������� ��� ������ ������������ ��������, �.�. ���������� "���������".

�� AD ����� ������� ������� ������� ������, ������������, ��� ������� ������ ���������� ��� ������ �������� ��������� �������� �������� �������������� ����� (�� AD ������������ ������ ������� ������!). ��� ����� �����, ��������� ��� ������� ������� ������ �� ����� �������� ���� �������������� ������. ��� ��� ���������� ���� �� ��������, ��������, ��� ������ ����������� ��������� �������������� ����� �������� ������� ������������ � ��� ����������� �������� ��������� ������� �������� �������� �������.

�� ������� ������������������� ����� �������, ��� ������ ��������� �������������� ����� �������� �� ������. ������������� ������������ ��������� (��������� ������ ������) ����� ��������, ��������� ������� ������.

�� AD �������� ����� ���������-�������� � ��������� �����: ������ ����������� ��������� �������������� ����� ���� �������� �������, ���� ����� �������� ����������. ������, � ������ ZF+AD ���������� �������� ������ ����������������� ��������� ���� �������������� ����� (�� AD ��������, ��� ������ ������ ������������� ��������� �������������� ����� �������� �� ����� ��� �������). ������� �������� ���������� ����������� ����� ����������� � ������� (����� aleph0).

����� �������, ��� ����������� (������� ���������������� � ������� �������������������) ��� ���� ������� ����� �������� � ���������� �����������. ��� ��� ������ �������� ������ �� ���� ������������ ������, �� ��� ������������ ���� �����. ����� �������, � ����������� � ������������� "���������� ���� ��������" ����� �� ����� ���� � ����.