gramata, matematika, skola, vidusskola, varbutibu teorija, varbutiba, macibu gramata, Karlis, Podnieks

Latvijas Universit�te

Matem�tikas un inform�tikas instit�ts

K.Podnieks

VARB�T�BAS

M�c�bu gr�mata vidusskol�m

R�ga 1992

Creative Commons License This work is licensed under a Creative Commons License and is copyrighted � 1992 by me,  Karlis  Podnieks.

 

SATURS

1. Tr�s et�des

2. Varb�t�bas j�dziens

3. Varb�t�bu �pa��bas

4. Kombinatorikas lieto�ana varb�t�bu teorij�

5. Nosac�t�s varb�t�bas

6. Baijesa formula

7. Gad�juma lielumi

8. Dispersija. �ebi�eva nevien�d�ba

9. Lielo skait�u likums

10. Korel�cija

Literat�ra

Uzdevumu atrisin�jumi - [email protected]

 

1. Tr�s et�des

Pirm�. X no��ra d��� 32 zivis, iez�m�ja t�s un palaida atpaka� d���. P�c da��m dien�m X no��ra d��� 28 zivis, 10 no t�m izr�d�j�s iez�m�tas. Cik pavisam zivju dz�vo d���? Nelasiet t�l�k, neatbild�ju�i pa�i sev uz �o jaut�jumu.

Y no��ra sav� d��� 2 zivis, iez�m�ja t�s un palaida atpaka�. P�c da��m dien�m Y no��ra 3 zivis, viena izr�d�j�s iez�m�ta. Cik zivju dz�vo Y d���?

Vien� gad�jum� izn�ca da�skaitlis, vai ne? Par to nav j�br�n�s, jo apskat�taj� veid� prec�zi noteikt zivju skaitu d��� nav iesp�jams. Nelasiet t�l�k, neatbild�ju�i pa�i sev uz jaut�jumu: cik dro�i var tic�t katram no abiem ieg�tajiem rezult�tiem?

Uzdevumu risin�juma gaitai vajadz�ja b�t ��dai. P�c iez�m�to zivju ielai�anas X d��� ir 32 iez�m�tas zivis. No�erot 28 zivis, 10 no t�m izr�d�j�s iez�m�tas, t.i. iez�m�tas bija 10/28 da�as no�erto zivju. Var dom�t, ka, ja p�c iez�m�to 32 zivju ielai�anas d��a zivis bija labi sajauku��s, tad aptuveni 10/28 da�as iez�m�tu zivju ir ar� d��� kopum�. T�p�c, ja x ir zivju kopskaits d���, tad 10x/28~32 un x ~90.

Noteikums "zivis labi sajauku��s" ir b�tisks. Ja s�kum� no�ert�s 32 zivis ir no �pa�as sugas, kura dz�vo tikai noteikt� d��a st�r� (taj�, kur X t�s no��ra), un d��i apdz�vo v�l citas sugas, tad ieg�tais rezult�ts 90 ne tuvu neizsaka zivju kopskaitu. Labi apdom�jiet �o momentu.

Otro uzdevumu var risin�t analo�iski pirmajam: x/3~2, t�tad x~6. Diem��l �im rezult�tam absol�ti nevar tic�t. Ieg�tie dati ne�auj apgalvot, ka d��� dz�vo "aptuveni" 6 zivis. Ar� tad, ja d��� b�tu 20 zivis un Y iez�m�tu 2 no t�m, nav neticami, ka p�c tam no�erot 3 zivis, no t�m tikai viena b�s iez�m�ta.

Pirm� uzdevuma rezult�tam var tic�t daudz dro��k. (Cik dro�i - to var pateikt tikai p�c diezgan sare���tiem apr��iniem.) V�l dro��k var�tu tic�t rezult�tam 894, ja uzdevum� dotie skait�i b�tu 321, 284, 102.

Secin�jums. Ja "eksperimenta" datos figur�jo�ie skait�i ir nelieli, tad nevar pielietot principu: iez�m�to zivju procents nozvej� ir aptuveni t�ds pats k� zivju kopskait�. �o principu var lietot tikai masveida "eksperimentos", kad ir pietiekami daudz iez�m�to un nozvejoto zivju.

Uz l�dz�g�m idej�m balst�s t.s. kvalit�tes statistisk� kontrole. Liel�s izstr�d�jumu partij�s gr�ti izsekot katra atsevi��a izstr�d�juma kvalit�tei. Pilnas p�rbaudes viet� var p�rbaud�t maz�ku skaitu izstr�d�jumu, kuri "uz labu laimi" izv�l�ti no dot�s liel�s partijas. Piem�ram, ja s�rij� ir pavisam 5000 deta�u, var izv�l�ties p�rbaudei tikai 100. Ja no ��m 100 der�gas izr�d�j�s 95 deta�as, var diezgan dro�i apgalvot, ka ar� 5000 deta�u s�rij� br��a procents nep�rsniedz 5-7%. Izv�le "uz labu laimi" �eit ir �oti svar�ga, jo p�rbaudot, piem�ram, tikai p�d�j�s 100 deta�as (vai tikai katru 50. deta�u), nevar ieg�t pietiekamu priek�statu par visu s�riju.

Otr� et�de. Jau XIY gadsimt� tika izgudrota �pa�uma apdro�in��ana. Ideja ��da: katrs, kas v�las apdro�in�t savu �pa�umu (piem�ram, pret ugunsgr�ku), iemaks� apdro�in��anas firmai noteiktu (nelielu) naudas summu. Ja apdro�in�tais �pa�ums nodeg, �pa�nieks sa�em no firmas pilnu �pa�uma v�rt�bu naud� (t� ir summa, kas daudz liel�ka par iemaksu). Var�tu likties, ka �eit p�rk�pts "naudas nez�dam�bas likums" - iemaks� maz, bet sa�em daudz. Glu�i t� nav. Nodeg ta�u tikai neliela da�a no visiem apdro�in�tajiem �pa�umiem. T�tad, tikai nedaudzi no �pa�niekiem sa�em liel�s summas, toties visi iemaks� apdro�in��anas firmai katrs savu nelielo summu. �eni�ls izgudrojums!

J�atz�m� tom�r, ka ar v�l��anos "pal�dz�t cilv�cei" vien ir par maz, lai dibin�tu apdro�in��anas firmu. Cik liel�m j�b�t �pa�nieku iemaks�m? Ja t�s b�s noteiktas par maz�m, nauda �tri izs�ks un firma bankrot�s. Ja iemaksas b�s noteiktas p�r�k lielas, reti k�ds grib�s ��irties no t�das summas: tad jau lab�k risk�t pazaud�t visu (�is risks parasti nav sevi��i liels).

Apl�kosim ��du (vienk�r�otu) situ�ciju. K�d� pils�t� ir 10000 m�ju, katra 1000 din�ru v�rt�b�. Ik gadu nodeg vid�ji 80 m�jas. M�su uzdevums ir organiz�t �aj� pils�t� apdro�in��anas firmu. K�du iemaksas lielumu apdro�in��anas fond� noteikt? Pie�emsim, ka visi 10000 m�ju �pa�nieki katru gadu iemaks� x din�ru katrs, tad firmas ien�kumi b�s 10000x din�ru gad�. Ik gadu n�ksies izmaks�t kompens�cij�s vid�ji 80*1000=80000 din�ru. T�di ir ikgad�jie firmas izdevumi. Ien�kumi nedr�kst b�t maz�ki, t�tad 10000x>=80000 un x>=8 din�riem.

Ja iemaksu noteiksim zem�ku par 8 din�riem, firma �tri vien bankrot�s. Faktiski pat 8 din�ri ir par maz, jo j��em v�r� ar� ugunsgr�ku skaita sv�rst�bas pa gadiem (vienu gadu - 70, citu - 100), izdevumi firmas uztur��anai (person�la algas, telpu �re, maksa par komun�lajiem pakalpojumiem u.c.), valsts un viet�jie nodok�i, k� ar� firmas �pa�nieka (t.i. m�su) v�l��an�s, lai pas�kums nestu pe��u. T�tad pie 80000 din�ru izdevumiem j�pieskaita: rezerves fonds (pie�emsim, 30000), ekspluat�cijas fonds (pie�emsim, 10000), nodok�i (pie�emsim, 5% no firmas ien�kumiem) un firmas �pa�nieka pe��a (pie�emsim, 5000). Ja tagad iemaksa tiks noteikta x din�ru (gad�), tad kop�jais ien�kums b�s 10000x gad�, bet izdevumi b�s 125000+500x. Lai nedraud�tu bankrots, vajag, lai past�v�tu nevien�d�ba:

10000x>=125000+500x,

t�tad 9,5x>=125 un x>=13,2 din�riem. T�p�c 13,2 din�ri gad� ir t� minim�l� iemaksa, kas j�prasa no katra klienta, lai firma var�tu sekm�gi darboties. Vai m�ju �pa�nieki var�s to at�auties? ��iet, var�s, jo 13,2 din�ri ir tikai 1,3% no m�jas v�rt�bas (un t�tad apm�ram 76 gados izn�k iemaks�t pilnu m�jas v�rt�bu).

�ai vienk�r�otaj� piem�r� m�s redzam, ka sekm�gai apdro�in��anas firmas darb�bai nepiecie�ams visu laiku v�kt ugunsgr�ku skaita statistiku. Cit�di var non�kt kr�pnieka lom�. Svar�gi, lai ugunsgr�ku procents b�tu zin�m� m�r� ierobe�ots, tikai tad m�su izdar�tajiem apr��iniem ir t� j�ga, ko m�s tiem grib�tu pie��irt. Ja, piem�ram, apb�ves bl�vumam pieaugot, ugunsgr�ku bie�ums k��st liel�ks, iemaksu apm�ri j�palielina vai ar� j�diferenc� atkar�b� no katras m�jas ugunsdro��bas pak�pes (piem�ram, no koka m�jas �pa�nieka var pras�t liel�ku iemaksu nek� no m�ra m�jas �pa�nieka). Lai ��s ieceres var�tu �stenot konkr�tos skait�os, vajadz�ga v�l s�k�ka un pamat�g�ka ugunsgr�ku statistika.

Tre�� et�de. Metot divus (kubiskus) sp��u kauli�us reiz�, var izkrist punktu summa 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 vai 12. Vai visas summas kr�t vien�di bie�i? Nelasiet t�l�k, nepam��in�ju�i patst�v�gi atrast atbildi.

Metot vienu kauli�u, ja tas ir piln�gi simetrisks, visi cipari (1, 2, 3, 4, 5, 6) kr�t apm�ram vien�di bie�i. Tas ir svar�gs dabas likums. Ja k�ds cipars kr�t daudz bie��k nek� citi, m�s t�l�t dom�jam, ka kauli�am ir k�ds defekts (nob�d�ts smaguma centrs). Metot divus kauli�us A un B, vien�di bie�i krit�s p�ri (A1,B1), (A1,B2), (A2,B1),..., (A6,B6). Pavisam te ir 36 iesp�jas (katra no kauli�a A se��m iesp�j�m br�vi kombin�jas ar kauli�a B se��m iesp�j�m, t�tad kop� izn�k 6*6=36 varianti).

Visas ��s iesp�jas var att�lot tabul�:

B \ A 1 2 3 4 5 6
1 11 12 13 14 15 16
2 21 22 23 24 25 26
3 31 32 33 34 35 36
4 41 42 43 44 45 46
5 51 52 53 54 55 56
6 61 62 63 64 56 66

Katrai no iesp�j�m atbilst noteikta ciparu summa:

B \ A 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

Katra no 36 kombin�cij�m kr�t apm�ram vien�di bie�i, t�p�c, ac�mredzot, visbie��k j�kr�t summai 7: se�os gad�jumos no 36. Aiz 7 n�k 6 un 8: piecos gad�jumos no 36. Visret�k, k� to azarta sp��u cien�t�ji jau b�s iev�roju�i, kr�t summas 2 un 12 - tikai vien� gad�jum� no 36.

1. uzdevums. Noskaidrojiet, k�da summa visbie��k sastopama, metot tr�s kauli�us reiz�.

 

2. Varb�t�bas j�dziens

Praks� nereti j�sastopas ar noris�m, kuras dod da��dus rezult�tus atkar�b� no apst�k�iem, kurus m�s nezin�m vai ar� nesp�jam �emt v�r�. Piem�ram, metot sp��u kauli�u, m�s nevaram iepriek� paredz�t, k�ds cipars uzkrit�s, jo tas atkar�gs no �oti daudziem apst�k�iem, kurus m�s nesp�jam �emt v�r�: rokas kust�bas deta�as, t�s virsmas �patn�bas, uz kuru kauli�� kr�t utml. T�pat nevar iepriek� prec�zi paredz�t, cik lietainu dienu b�s n�kamgad, nevar dro�i zin�t, cik k��du b�s skolniekam n�ko�aj� kontroldarb�...

Nevajag tom�r dom�t, ka �aj�s noris�s nav nek�du likumsakar�bu. Tiesa, atsevi��a "m��in�juma" (kauli�a metiena, kontroldarba utt.) rezult�tu iepriek� paredz�t m�s nesp�jam. Bet ja "m��in�jumus" daudzreiz atk�rto? Daudzreiz metot kauli�u, var iev�rot, ka visi cipari kr�t apm�ram vien�di bie�i. T� ta�u ir likumsakar�ba! T�tad, lai ar� atsevi��s kauli�a metiens dod nejau�u, iepriek� neparedzamu rezult�tu, gar� metienu s�rij� nejau��ba da��ji z�d - par�d�s likumsakar�ba: da��du ciparu kri�anas bie�ums ir aptuveni viens un tas pats.

Prec�zi run�jot, bie�ums ir to "m��in�jumu" skaita, kuros m�s interes�jo�ais rezult�ts par�d�j�s, attiec�ba pret visu "m��in�jumu" kopskaitu. Piem�ram, sp��u kauli�u met 6000 reizes, se�inieks uzkr�t 980 gad�jumos. Se�inieka bie�ums �aj� s�rij� t�tad ir 980/6000. Tas ir diezgan tuvu skaitlim 1/6. Cit� 6000 metienu s�rij� var izr�d�ties, ka se�inieks uzkr�t 1025 reizes. Tom�r ar� �eit bie�ums 1025/6000 1ir tuvu 1/6. Gar�s metienu s�rij�s visi se�i cipari kr�t apm�ram vien�di bie�i - t�p�c ar� katra cipara bie�ums da��d�s s�rij�s sv�rst�s tuvu 1/6.

L�dz�gu gad�jumu ir sam�r� daudz: katra atsevi��a "m��in�juma" rezult�tu paredz�t m�s nesp�jam, toties gar� "m��in�jumu" s�rij� m�s interes�jo�� rezult�ta par�d��an�s bie�ums sv�rst�s tuvu k�dam nemain�gam skaitlim. Piem�ram, ir nov�rots, ka katram konkr�tam ��v�jam tr�p�jumu bie�ums m�r�� (dotajos �au�anas apst�k�os) gandr�z vienm�r ir aptuveni viens un tas pats (piem�ram, 87 no 100), tikai �oti nedaudz novirzoties no vid�j�s v�rt�bas. (Ar laiku �� vid�j� v�rt�ba, protams, var izmain�ties, tad m�dz teikt, ka ��v�js pilnveido savu m�ku - vai ar� otr�di - "zaud� formu".)

Katr� no ��diem gad�jumiem t�tad eksist� k�ds noteikts skaitlis, kas objekt�vi raksturo sp��u kauli�u, ��v�ju utt. un kuram apk�rt visu laiku sv�rst�s attiec�g� rezult�ta (se�inieka uzkri�ana, tr�p�jums m�r�� utt.) par�d��an�s bie�ums gar�s "m��in�jumu" s�rij�s. �o skaitli, kura tuvum� sv�rst�s rezult�ta (vai "notikuma") par�d��an�s bie�ums, pie�emts saukt par varb�t�bu. Ja m�s sak�m, ka se�inieka uzkri�anas varb�t�ba ir 1/6, tas noz�m�, ka pietiekami gar� sp��u kauli�a metienu s�rij� aptuveni viena sest� da�a metienu dos se�nieku. (S�rijai oblig�ti j�b�t garai, lai varb�t�ba sp�tu "sevi par�d�t" - ja metienu skaits b�s tikai da�i desmiti, bie�uma novirzes no varb�t�bas var b�t �oti lielas, piem�ram, 18 metienu s�rij� var uzkrist 5 se�inieki un nevis 3).

T� vai cita notikuma varb�t�bu var tuvin�ti nov�rt�t, apkopojot statistiku: gar�s m��in�jumu s�rij�s j�saskaita, cik gad�jumos notikums par�d�jies un j�izdala �is skaitlis ar visu m��in�jumu kopskaitu s�rij�. Tom�r pa�as varb�t�bas past�v��ana, protams, nav atkar�ga no t�, vai m��in�jumus izdara vai n�. T�p�c rodas dabisks jaut�jums: vai nevar�tu izgudrot k�das metodes, kas �autu noteikt da��du notikumu varb�t�bas bez iepriek��jiem m��in�jumiem? Zinot t�das metodes, m�s var�tu m��in�jumu rezult�tus paredz�t uz priek�u (protams, ne jau atsevi��a me�in�juma rezult�tu, bet gan garu s�riju rezult�tus!). Praks� tas var�tu b�t �oti noder�gi.

Apl�kosim ��du piem�ru. �emsim sl�gtu kasti, kuras v�k� ir caurums. Ievietosim �ai kast� 10 nelielas lod�tes (5 baltas, 3 melnas, 2 sarkanas). Kastes saturu pamat�gi samais�sim. (J�atz�m�, ka literat�r� �o slaveno kasti visbie��k sauc par urnu.) Izvilksim no urnas (neieskatoties taj�, t.i., "uz labu laimi") vienu lod�ti. J�jaut�: k�da varb�t�ba, ka izvilkt� lod�te b�s iepriek� izv�l�t� kr�s�, piem�ram, balt�? Piln�gi skaidrs, ka mums ir 5 iesp�jas no 10 izvilkt baltu lod�ti, 3 no 10 - izvilkt melnu un 2 no 10 - sarkanu lod�ti. Citiem v�rdiem sakot, varb�t�ba izvilkt baltu, melnu vai sarkanu lod�ti ir attiec�gi: 5/10, 3/10, 2/10.

Un tie��m, ja m�s ��dus m��in�jumus ar lod�tes vilk�anu daudzreiz atk�rtotu (katru reizi atliekot izvilkto lod�ti atpaka� urn� un urnas saturu pamat�gi samaisot), m�s var�tu p�rliecin�ties, ka apm�ram 50% visu gad�jumu tiek izvilkta balta lod�te, 30% - melna un 20% - sarkana.

L�dz�g� veid� b�tu risin�mi uzdevumi par varb�t�bu noteik�anu, ja urn� ir ar� jebkur� cits skaits lod��u jebkur� skait� kr�su.

Daudzi uzdevumi varb�t�bu noteik�anai viegli reduc�jami uz urnu ar lod�t�m. Piem�ram, mon�tas me�ana. Mon�ta griezdam�s un virpu�odama uzlido augstu gais�: nokr�tot zem�, tai virspus� ir vai nu "cipars", vai "��rbonis". Liekas skaidrs, ka tos pa�us rezult�tus var ieg�t, �emot urnu ar 2 vien�d�m lod�t�m - uz vienas uzrakst�ts "cipars", uz otras - "��rbonis". Mon�tas me�ana ir l�dzv�rt�ga lod�tes vilk�anai no urnas. Abu lod��u izvilk�ana ir vien�di iesp�jama, t�tad gan ciparam, gan ��rbonim j�pieraksta viena un t� pati varb�t�ba 1/2. Un tie��m, ja ilgi met mon�tu, var iev�rot, ka cipars un ��rbonis kr�t aptuveni vien�di bie�i - uz katru izn�k vid�ji 50% metienu.

V�l viens piem�rs. K�da varb�t�ba, ka, metot sp��u kauli�u, uzkrit�s cipars, kur� dal�s ar 3? Kauli�a me�anai var b�t se�i izn�kumi - 1, 2, 3, 4, 5, 6. T� viet� varam iedom�ties urnu ar 6 lod�t�m, uz kur�m uzrakst�ts katrai savs cipars. Ar 3 dal�s tikai 3 un 6; nokr�sosim ��s lod�tes melnas, p�r�j�s atst�jot baltas. Urn� t�tad ir 6 lod�tes, no t�m 2 melnas. Varb�t�ba izvilkt melnu lod�ti t�p�c ir 2/6 = 1/3. T�da pati ir varb�t�ba pie kauli�a me�anas uzkrist skaitlim, kur� dal�s ar 3.

Un beidzot, atgriez�simies pie uzdevuma, ko apl�koj�m 1.sada�as tre�aj� et�d� par kauli�u p�ra me�anu. K�da varb�t�ba, ka uzkrit�s summa 7? Kauli�u p�ra viet� var iedom�ties urnu ar 36 lod�t�m, uz katras uzrakst�ts savs ciparu p�ris: 11, 12, 21,...,66. Nodz�s�sim �os ciparus, viet� uzrakstot to summas. Tad uz katras lod�tes atrad�sies k�ds skaitlis no 2 l�dz 12. Skaitlis 7 b�s uz 6 lod�t�m (uz t�m, uz kur�m s�kum� bija 16, 25, 34, 43, 52, 61). T�tad varb�t�ba izvilkt summu 7 izn�k 6/36 = 1/6. Varb�t�ba izvilkt summu 8 ir tikai 5/36, jo skaitlis 8 ir uz 5 lod�t�m no 36 36(26, 35, 44, 53, 62). Un tie��m, ja ilgi met kauli�us, var iev�rot, ka summa 7 kr�t bie��k nek� summa 8 un citas summas.

Tagad neb�s gr�ti formul�t visp�r�go principu ��du uzdevumu risin��anai. Noteikums, ka lod�tes urn� ir pamat�gi sajauku��s un ka lod�te j�velk, neskatoties urn�, garant�, ka mums ir piln�gi vien�ds pamats sagaid�t, ka tiks izvilkta jebkura no lod�t�m, kas atrodas urn�. Visu lod��u izvilk�ana ir vien�di iesp�jama. Ja lod��u urn� ir pavisam 10, dabiski uzskat�t, ka katra no t�m var tikt izvilkta ar varb�t�bu 1/10 (summ� izn�k 1). Ja baltu lod��u urn� ir 5 (no 10), tad varb�t�bai izvilkt baltu j�b�t 5/10 = 1/2. L�dz�gi j�sprie� ar� p�r�jos piem�ros. Pieredze r�da, ka apskat�taj� veid� izr��in�t�s varb�t�bas ar� ir tie past�v�gie skait�i, ap kuriem sv�rst�s notikumu (baltas lod�tes izvilk�ana, summas 7 uzkri�ana un tml.) par�d��an�s bie�ums gar�s "m��in�jumu" s�rij�s. Tas ir svar�gs dabas likums, bez kura varb�t�bu teorijai neb�tu nek�das praktiskas noz�mes.

Tom�r ne maz�k skaidri j�apzin�s, ka �is apgalvojums nav matem�tiski pier�d�ts fakts, bet cilv�ces simtiem gadu pieredz� no nov�rojumiem izkristaliz�jusies p�rliec�ba. No matem�tikas viedok�a t� pareiz�ba nav pier�d�ta ne par vienu procentu vair�k k�, piem�ram, ��tona likums: �ermenis, uz kuru neiedarbojas �r�ji sp�ki, kustas taisn� virzien� ar nemain�gu �trumu.

Visp�rinot apl�kotos piem�rus, non�kam pie ��da principa. Ja k�dam procesam, to atk�rtojot vien�dos apst�k�os, var b�t n vien�di iesp�jami izn�kumi, tad katram no tiem pierakst�ma varb�t�ba 1/n. Ja m izn�kumus (no kopskaita n) pavada notikums A (piem�ram, A = "uzkr�t summa 7"). tad notikumam A j�pieraksta varb�t�ba m/n. Simboliski:

P(A) = m/n,

ko lasa "A varb�t�ba" vai "varb�t�ba priek� A". V�rdiem to m�dz formul�t ar� t�: notikuma varb�t�ba vien�da "labv�l�go" izn�kumu skaita attiec�bai pret visu (vien�di iesp�jamo) izn�kumu skaitu. Nedom�jiet, ka t� ir varb�t�bas j�dziena defin�cija. �eit aprakst�ta tikai varb�t�bu apr��in��anas metode pla�ai uzdevumu klasei - kad izdodas izdal�t vien�di iesp�jamu "pamatnotikumu" sist�mu.

gramata, matematika, skola, vidusskola, varbutibu teorija, varbutiba, macibu gramata, Karlis, Podnieks