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Medias Aritm�nica, Aritm�tica, Arm�nica,

Geom�trica y Dorada

En general, todas las medias como casos particulares de un concepto mucho m�s general: "La Media Racional". Algunos ejemplos extra�dos del libro: �LA QUINTA OPERACI�N ARITM�TICA, Revoluci�n del N�mero� ISBN: 980-07-6632-4. Copyright �. Todos los derechos reservados. Autor: D. G�mez.

CONTENIDO DE ESTA PAGINA:

• Media Aritm�tica (Ar)
• Media arm�nica (Hm)
• MEDIA ARITMONICA (ATM)
• Media Geom�trica
• Media Dorada (Fibonacci)
• Conclusiones
• e-MAIL:

 

 

Media Aritmetica (Ar)

 

La media aritm�tica se obtiene mediante la Media Racional entre fracciones que tienen denominadores iguales. Como ejemplo, la media aritm�tica entre tres valores 4/3, 5/4, 6/5 es la Media Racional (Mr) entre ellos haciendo previamente que sus denominadores sean iguales:

Harmonic Mean (Hm)

La Media Arm�nica se obtiene mediante la  Media Racional entre fracciones que tienen denominadores iguales. Como ejemplo, la media aritm�tica entre tres valores 4/3, 5/4, 6/5 es la Media Racional (Mr) entre ellos haciendo previamente que sus numeradores sean iguales:

Media Aritmonica (ATM)

La Media Aritm�nica ATM_i  de orden i entre n valores arbitrarios es la  Media Racional entre ellos haciendo previamente que los numeradores desde la primera fracci�n hasta la i-�sima fracci�n sean iguales, mientras que los denominadores desde la i-�sima fracci�n hasta la �ltima sean iguales. Entre n valores positivos cualesquiera existen entonces n medias aritm�nicas.

A modo de ejemplo, dados cuatro valores 9/8, 2, 2, 2 las sucesivas cuatros medias aritm�nicas del primero, segundo, tercero y cuarto orden (ATM₁, ATM₂ , ATM₃, ATM₄ ) son las siguientes:

Como una propiedad bastante interesante note que 9/8* 2* 2* 2= 9, igual que el producto:

Esto significa que de la misma manera que los cuatro valores iniciales 9/8, 2, 2, 2 definen --por defecto y por exceso-- la  ra�z cuarta de 9, tambi�n las cuatro medias aritm�nicas son aproximaciones m�s cercanas  --por defecto y por exceso-- a la misma ra�z cuarta de 9.

 

Media Geometrica (Gm)

Ver Resoluci�n de ra�ces.

Media Dorada (Golden Mean)

El n�mero irracional:

conocido como la Media Dorada (n�mero que satisface la Proporci�n Dorada: p/q= q/(p+q)) es una soluci�n de la ecuaci�n x²+x-1=0 y est� relacionada con la famosa secuencia de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...

Dados los siguientes dos radios iniciales:

El Proceso Racional para aproximar el vaor irracional de la Media Dorada es:

(Nota: El acr�nimo "Mr" significa Media Racional)

Paso 1:

Paso 2:

Paso 3:

Paso 4:

y as� sucesivamente...

en cada etapa del proceso nosotros obtenemos dos aproximaciones cada vez m�s cercanas al valor de la Media Dorada. Note que los coeficientes num�ricos muestran la famosa secuencia de Fibonnaci.

Conclusiones

Con base al nuevo concepto general de la Media Racional, est� claro que el credo tradicional sobre "Medias" debe ser redefinido. Es realmente inquietante y preocupante el comprender que este concepto general de la media racional evidenciado en los ejemplos anteriores, haya pasado desapercibido a lo largo de toda la historia de las matem�ticas, y muy especialmente si consideramos que, por ejemplo,  la Media Aritm�nica es una herramienta aritm�tica indispensable para la  aproximaci�n de ra�ces mediante m�todos con  velocidad de convergencia de ordenes superiores al segundo.

 

 

 

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Last revision: 2002.