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Fracciones Continuas Generalizadas
Una nueva visi�n general que incluye las tradicionales fracciones
continuas, algunos ejemplos extra�dos del libro: �LA QUINTA OPERACI�N
ARITM�TICA, Revoluci�n del N�mero� ISBN: 980-07-6632-4. Copyright �. Todos los derechos
reservados. Autor: D. G�mez.
CONTENIDO DE ESTA PAGINA:
Fracciones Continuas Generalizadas
Fracciones Fractales
Dada la ecuaci�n algebraica f(x) = 0 de n-�simo grado:
Su ra�z de m�ximo modulo puede ser
expresada en t�rminos de una fracci�n continua generalizada (Fracci�n Fractal)
de la siguiente manera:
Reemplazando repetidamente la parte
fraccional por la expresi�n:
se obtiene la siguiente expresi�n general para la
ra�z de m�ximo m�dulo de f(x):
La ra�z de m�nimo modulo de la ecuaci�n:
est� dada por la siguiente fracci�n continua
generalizada:
Ejemplo num�rico:
Siendo a0 = -1, a1
= -2, la representaci�n de la ra�z de m�ximo m�dulo de la ecuaci�n:
como fracci�n continua generalizada es:
Podemos ver que la fracci�n continua
tradicional de el n�mero irracional: 
es simplemente una expresi�n de segundo orden del nuevo concepto de fracci�n
continua generalizada.
Ser� necesario entonces redefinir la
tradicional representaci�n de los n�meros irracionales mediante
fracciones continuas. Es realmente inquietante el saber ahora que un concepto
tan elemental y general no tenga precedentes en la larga historia de las
fracciones continuas.
Otro ejemplo:
Este ejemplo fu� previamente
expuesto en la lista de la Web: MATH-HISTORY LIST (3 Oct 1997)
Dada la ecuaci�n (x+1)3 =2, o lo
mismo -x3-3x2-3x+1=0, cuya ra�z de m�nimo m�dulo es 
.
Siendo a1 = -3, a2 = -3, a3
= -1, entonces la fracci�n continua generalizada para esa ra�z es:
Una muy interesante expresi�n que ofrece una
representaci�n peri�dica de un irracional c�bico. Durante mucho tiempo y bajo
la reducida visi�n y alcance de las tradicionales fracciones continuas se crey�
que solamente los irracionales de segundo orden es decir los irracionales
cuadr�ticos (ra�ces cuadradas) pod�an tener una representaci�n peri�dica.
Los convergentes de esa fracci�n fractal son:
los cuales dan aproximaciones sucesivas al valor:
.
Esa secuencia de convergentes est� regulada por la
siguiente relaci�n lineal homog�nea de recurrencia:
yn=3yn-1
+ 3yn-2 + yn-3
Es importante notar que las fracciones continuas
generalizadas son solamente un caso especial de el Proceso Racional (Proceso
basado en la Media Racional).
Si el lector tratara de representar la ra�z c�bica
de 2 mediante las fracciones continuas tradicionales (Ahora en adelante
definidas como "Fracciones continuas de segundo orden") entonces
obtendr� una representaci�n distorsionada (coeficientes no peri�dicos) de ese
n�mero irracional, as�:
cuyos convergentes son:
Conclusiones
Resulta muy claro que las
fracciones continuas tradicionales son en realidad: "fracciones continuas
de segundo orden". Como hemos visto en los ejemplos anteriores, cuando
tratamos de representar un irracional de grado superior al segundo (ra�ces
c�bicas, cuartas, etc.) utilizando el concepto tradicional entonces se obtiene
una imagen distorsionada de ese irracional. Es necesario entonces redefinir
nuestro concepto acerca de la representaci�n de los irracionales mediante
fracciones continuas.
Por otro lado es necesario tener en cuenta que las fracciones continuas
generalizadas (Fracciones fractales) son esencialmente Procesos Racionales regulados por la Media Racional.
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Last
revision: 2002.